Проверка принадлежности точки плоскости для взаимно перпендикулярных плоскостей: рабочий лист для 11 класса

Математика • 11 класс • MATH-1960

Учебная цель: отличать взаимную перпендикулярность плоскостей от принадлежности конкретной точки и проверять систему двух уравнений.

Три контрольных вопроса

1. Контроль 1. A: x=0 и B: y=0. Перпендикулярны ли плоскости? Лежит ли точка (0;0;3) на обеих?
2. Контроль 2. Для A: x+y=4, B: x−y=2 найдите их общую точку с z=0.
3. Контроль 3. A: z=2, B: x=3. Относится ли точка (3;5;2) к линии их пересечения?

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей и принадлежность точки каждой из них — разные утверждения. Условие перпендикулярности задаётся ортогональностью нормальных векторов. Для отдельной точки затем независимо проверяются оба уравнения. Совпадение только с одним уравнением недостаточно для нахождения линии пересечения.

Практика: какие точки принадлежат сразу двум плоскостям?

4. A: x=0, B: y=0. Укажите, в какой плоскости лежит M(0;4;2).
5. A: x+y=4, B: x−y=2. Для M(3;1;7) запишите статус принадлежности.
6. A: x+y=4, B: x−y=2. Принадлежит ли M(1;3;0) второй плоскости?
7. A: z=2, B: x=3. Может ли точка (0;1;0) принадлежать их пересечению?
8. A: 2x+y−z=4 и B: x−2y=5. Докажите перпендикулярность и проверьте M(5;0;6).
9. Для тех же A: 2x+y−z=4, B: x−2y=5 определите, принадлежит ли M(7;1;11) обеим плоскостям.
10. Для A: x=0 и B: z=3 покажите точку, принадлежащую только B.
11. Уравнения A: x+y=4 и B: x−y=2 перпендикулярны. Школьник утверждает, что M(3;1;100) не принадлежит их пересечению из-за большого z. Прав ли он?

Ответы и краткие вычисления

1. Нормали (1;0;0) и (0;1;0) перпендикулярны, поэтому плоскости перпендикулярны. Подстановка x=0, y=0 подтверждает принадлежность обеим.
2. Нормали (1;1;0) и (1;−1;0) ортогональны. Складываем уравнения: 2x=6, x=3; тогда y=1. Точка (3;1;0) удовлетворяет обоим.
3. Да. Подстановка z=2 и x=3 верна при любом y. Нормали (0;0;1) и (1;0;0) взаимно перпендикулярны.
4. В A, потому что x=0. В B не лежит, потому что y=4. Перпендикулярность плоскостей не означает, что каждая точка одной принадлежит другой.
5. В A: 3+1=4, в B: 3−1=2. Точка лежит на обеих плоскостях и на прямой их пересечения.
6. Первая: 1+3=4 — да. Вторая: 1−3=−2, а нужно 2, поэтому нет.
7. Нет: она не удовлетворяет ни z=2, ни x=3. Отдельная проверка каждого уравнения обязательна.
8. Нормали (2;1;−1) и (1;−2;0): скалярное произведение 2−2+0=0. Для M: 10+0−6=4 и 5−0=5. Она лежит на обеих.
9. В A: 14+1−11=4; в B: 7−2=5. Да, точка принадлежит обеим; она лежит на линии пересечения.
10. Например, (2;8;3). Для B выполнено z=3, для A нарушено x=0. Нормали (1;0;0) и (0;0;1) ортогональны.
11. Нет. Обе плоскости имеют коэффициент 0 при z; условия выполнены при x=3, y=1 и любом z. Поэтому M(3;1;100) принадлежит общей прямой.

Быстрая проверка: максимальные 11 баллов. Если точка удовлетворяет двум уравнениям, она лежит на общей прямой двух непараллельных плоскостей. Если выполнено только одно, точка принадлежит только соответствующей плоскости. Уравнения A и B могут задавать перпендикулярные плоскости, но это не отменяет необходимости отдельных подстановок.

Для задач с одной свободной координатой помните: если коэффициент при z в обоих уравнениях равен нулю, значение z не влияет на принадлежность. Линия пересечения имеет вид (x₀;y₀;z) при произвольном z, когда система по x и y имеет единственное решение. Это объясняет ответ в последнем вопросе без дополнительных чертежей.

Проверка неверного довода

Нельзя сделать вывод «точка принадлежит обеим плоскостям» только по тому, что плоскости перпендикулярны. Например, координатные плоскости x=0 и y=0 перпендикулярны, но точка (0;5;1) лежит лишь в первой. Для пересечения требуется сразу два равенства. Поэтому один правильный ответ в такой задаче всегда содержит две подстановки, даже если геометрическая схема очень проста.