Проверка принадлежности точки плоскости по нормальному вектору — мини-практикум с ответами, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1959

Учебная цель: решать тест принадлежности через n·AM=0 и подтверждать результат обратной подстановкой.

Разобранный пример с обратной проверкой

Дана плоскость через A(1;2;0) с нормалью n=(2;−1;3). Проверим M(2;1;−1). Вектор AM=(1;−1;−1), поэтому n·AM=2·1+(−1)·(−1)+3·(−1)=0. Значит, M находится в заданной плоскости. Важно: нормаль не обязана начинаться в A; в расчёте используются её координаты и координаты вектора между проверяемыми точками.

Чтобы проверить ответ обратно, построим уравнение: 2(x−1)−(y−2)+3z=0, то есть 2x−y+3z=0. Подставив M, получим 4−1−3=0. Два способа согласуются, как и должны: уравнение выведено из скалярного произведения.

Изменённое условие: опорная точка не в начале координат

Если использовать ошибочное сокращение n·M=0, мы получим плоскость, проходящую через начало координат, а не обязательно через A. Верное условие n·(M−A)=0. Оно показывает, почему одного нормального вектора недостаточно для задания положения плоскости в пространстве.

Самостоятельная серия: проверьте точки и найдите параметры

1. Дана точка A(2, 1, 0) на плоскости и нормаль n=(1, 2, -1). Принадлежит ли этой плоскости точка M(3, 0, 1)?
2. Дана точка A(0, 1, 2) на плоскости и нормаль n=(2, -1, 1). Принадлежит ли этой плоскости точка M(1, 2, 1)?
3. Дана точка A(3, 0, 1) на плоскости и нормаль n=(1, 1, 1). Принадлежит ли этой плоскости точка M(2, 1, 1)?
4. Дана точка A(4, 1, 0) на плоскости и нормаль n=(0, 2, 1). Принадлежит ли этой плоскости точка M(1, 1, 0)?
5. Дана точка A(1, 2, 1) на плоскости и нормаль n=(3, 1, -2). Принадлежит ли этой плоскости точка M(2, 1, 2)?
6. Дана точка A(0, 0, 1) на плоскости и нормаль n=(2, 0, 3). Принадлежит ли этой плоскости точка M(3, 1, -1)?
7. Дана точка A(1, -1, 0) на плоскости и нормаль n=(1, -2, 2). Принадлежит ли этой плоскости точка M(3, 0, 0)?
8. Дана точка A(0, 2, 0) на плоскости и нормаль n=(4, 1, 1). Принадлежит ли этой плоскости точка M(1, 0, -2)?
9. Нормаль n=(1;2;−1), A(1;0;1). Найдите t, если точка M(t;2;0) лежит в плоскости.
10. Нормаль n=(2;−1;3), A(0;1;0). Найдите t для M(2;t;1) на плоскости.
11. Нормаль n=(3;0;−2), A(2;1;−1). Найдите t для M(t;5;2).
12. Нормаль n=(1;−1;1), A(1;1;1). Найдите t для M(4;t;2).
13. Школьник записал n·M=0 для n=(1;2;1), A(1;0;0), M(1;−1;2). Достаточно ли этой проверки?
14. Плоскость задана нормалью n=(2;1;−1) и точкой A(1;0;2). Составьте уравнение и проверьте B(3;−2;4).
15. Почему по одному лишь ненулевому нормальному вектору нельзя определить единственную плоскость?

Ключ и разбор решений

1. M−A=(1, -1, 1), скалярное произведение n·(M−A)=-2. Точка M не принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
2. M−A=(1, 1, -1), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
3. M−A=(-1, 1, 0), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
4. M−A=(-3, 0, 0), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
5. M−A=(1, -1, 1), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
6. M−A=(3, 1, -2), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
7. M−A=(2, 1, 0), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
8. M−A=(1, -2, -2), скалярное произведение n·(M−A)=0. Точка M принадлежит плоскости. Проверка состоит в вычислении скалярного произведения, а не сравнении длин векторов.
9. Вектор M−A=(t−1;2;−1). Условие (t−1)+2·2+(−1)·(−1)=t+4=0, значит t=−4. Проверка: −5+4+1=0.
10. M−A=(2;t−1;1). Получаем 4−(t−1)+3=8−t=0, t=8. Обратное действие: 4−7+3=0.
11. M−A=(t−2;4;3), поэтому 3(t−2)+0−6=3t−12=0, t=4. Неизвестная координата y в этой задаче не влияет на принадлежность, поскольку коэффициент при y равен нулю.
12. M−A=(3;t−1;1), скалярное произведение 3−(t−1)+1=5−t. Оно нулевое при t=5. Проверка: 3−4+1=0.
13. Нет: для плоскости через A нужно n·(M−A)=0. Здесь M−A=(0;−1;2), произведение −2+2=0: M лежит в плоскости. При этом n·M=1−2+2=1, что не равно нулю. Требуется учитывать опорную точку A.
14. 2(x−1)+y−(z−2)=0, или 2x+y−z=0. Для B: 6−2−4=0, значит принадлежит. Обратная проверка через векторы: n·(B−A)=2·2+1·(−2)−1·2=0.
15. Один нормальный вектор задаёт направление всех параллельных друг другу плоскостей с такой нормалью. Нужно дополнительное условие — точка на плоскости либо свободный член в её уравнении. Без него проверить произвольную точку невозможно.

Пояснение к скрытой ошибке

Нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность вектора AM нормали; для ненулевой нормали это и есть критерий принадлежности M плоскости через A. Но проверять n·M=0 можно только тогда, когда плоскость действительно проходит через начало координат. Путаница между точкой и направляющим вектором — типичная причина неверного решения.

В вопросах с параметром сначала формируется линейное уравнение, затем найденная координата возвращается в исходный вектор AM. Не перепутайте координаты: например, A(1;0;2) и M(3;−2;4) задают AM=(2;−2;2), а не саму тройку координат точки M. Эта разность принципиальна даже при правильной записи нормали.

Особые случаи: если в нормали одна координата нулевая, например n=(3;0;−2), то координата вдоль оси y свободна и сама по себе не влияет на выполнение уравнения плоскости. Если же n=(0;0;0), этот вектор не может быть нормалью для задания единственной плоскости; правило теряет геометрический смысл. Наличие настоящей ненулевой нормали — обязательная предпосылка.

Можно выполнить обратную проверку тремя способами: скалярным произведением, подстановкой в уравнение или геометрическим рассуждением о перпендикулярности. Первые два вычислительно эквивалентны и дают точный ответ. Третий удобен на рисунке, но без заданных размеров и углов рисунок может ввести в заблуждение. На проверочной работе предпочтительнее записывать арифметическую проверку.

В заключение сравните вопросы 13 и 15: в одном ошибка возникает из-за неверного начала отсчёта, в другом необходимо установить свободный член уравнения плоскости. Это две стороны одного принципа: нормальный вектор задаёт наклон плоскости, а её положение определяется дополнительно хотя бы одной точкой.

Три дополнительных обоснования для самостоятельной проверки

Обоснование первое — смысл нормали. Пусть плоскость проходит через точку A, а n — её ненулевая нормаль. Каждый вектор, лежащий в направлении этой плоскости, перпендикулярен нормали. Если M лежит в плоскости, то AM является таким вектором и n·AM=0. Верно и обратное: все точки M, для которых n·(M−A)=0, образуют единственную плоскость через A, ортогональную заданной нормали. Здесь критерий не является только необходимым: он действительно достаточен при правильном задании A и n.

Обоснование второе — свободный член. Раскроем запись n=(a;b;c), A=(x₀;y₀;z₀): a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. После раскрытия скобок получаем ax+by+cz+D=0, где D=−ax₀−by₀−cz₀. Значение D нельзя просто игнорировать. Если взять одну и ту же нормаль n=(1;0;0), но разные опорные точки A(1;0;0) и B(3;0;0), получим две параллельные, но разные плоскости x=1 и x=3. Точка с координатой x=1 принадлежит первой, но не второй.

Обоснование третье — неоднозначность при отсутствии опорной точки. Когда известна лишь нормаль n=(2;−3;1), можно написать целое семейство параллельных плоскостей 2x−3y+z=D для любых чисел D. Одна и та же точка P(0;0;0) лежит только на плоскости из этого семейства с D=0. Следовательно, ответ «принадлежит или нет» в задаче без A или D определить невозможно. Это не технический пробел: в условии действительно недостаёт геометрической информации.

Как оформить полное решение без лишних вычислений

Запишите в одну строку вектор AM, не пропуская вычитание каждой координаты. Затем посчитайте скалярное произведение по компонентам и сделайте вывод из его точного значения. Если получился нуль, запишите «принадлежит», иначе — «не принадлежит». Для параметра дополнительно укажите решённое уравнение и контрольное скалярное произведение после подстановки ответа. Такая запись позволяет отличить ошибку в разности координат от ошибки в умножении чисел.

Последняя проверка касается единиц измерения: если координаты точек заданы в сантиметрах, все компоненты вектора AM также измеряются в сантиметрах. Скалярное произведение нормали с этим вектором может иметь условную размерность в зависимости от того, как нормаль нормирована, но для проверки принадлежности важен именно нуль. Поэтому сокращать числовые компоненты нормали на один и тот же ненулевой множитель допустимо — плоскость не изменится.

Сверьте два задания, в которых меняется только опорная точка

Пусть нормаль фиксирована: n=(1;1;−1). Если A=(0;0;0), плоскость имеет уравнение x+y−z=0. Точка M=(2;1;3) принадлежит ей: 2+1−3=0. Теперь сместим опорную точку в B=(0;0;2), не меняя нормали. Вторая плоскость x+y−(z−2)=0, то есть x+y−z+2=0. Для того же M левая часть уже равна 2, поэтому принадлежности нет. Этот пример показывает, почему одно и то же направление нормали не означает одну и ту же плоскость.

Если попытаться заменить опорную точку A произвольной точкой C, сначала проверьте, принадлежит ли C исходной плоскости. Только в этом случае вектор CM можно использовать в равенстве n·CM=0 без изменения геометрического объекта. В противном случае возникнет параллельная плоскость, и проверка даст другой ответ. На чертеже такой сдвиг может быть незаметен, но в координатной модели он выражается изменением свободного члена уравнения.