Проверка принадлежности точки плоскости по уравнению плоскости в координатах: упражнения разной сложности, 11 класс

Математика • 11 класс • MATH-1958

Учебная цель: проверять координатную принадлежность точки плоскости, находить неизвестную координату и объяснять неудачную подстановку.

Таблица проверки: решает ли точка уравнение?

Для плоскости Ax+By+Cz+D=0 тройка координат точки подходит тогда и только тогда, когда после подстановки левая часть равна нулю. Число L=Ax₀+By₀+Cz₀+D называют значением левой части в точке: L=0 означает принадлежность, L≠0 — непринадлежность. Это простой тест, не требующий рисунка плоскости.

Внимательно прочитайте таблицу: даже большие по модулю коэффициенты не делают точку принадлежащей плоскости, если итоговая сумма не нулевая. Не путайте уравнение плоскости с уравнением прямой на координатной плоскости; здесь три координаты, а нормальный вектор (A,B,C) не должен быть нулевым.

Практикум — воспроизведите вычисления и найдите противоречие

1. Плоскость 2x − 1y + 1z − 4 = 0; точка P(1, 0, 2). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
2. Плоскость 1x + 2y − 1z + 3 = 0; точка P(0, -1, 1). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
3. Плоскость 3x + 0y + 2z − 6 = 0; точка P(0, 2, 0). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
4. Плоскость -1x + 2y + 2z + 1 = 0; точка P(1, 0, -1). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
5. Плоскость 0x + 1y − 3z + 2 = 0; точка P(5, 1, 1). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
6. Плоскость 1x − 1y + 1z − 2 = 0; точка P(2, 1, 1). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
7. Плоскость 2x + 3y − 2z + 1 = 0; точка P(0, 1, 2). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
8. Плоскость 4x + 1y + 0z − 8 = 0; точка P(2, 0, 0). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
9. Плоскость 3x − 2y + 1z + 0 = 0; точка P(1, 2, 1). Вычислите левую часть и установите принадлежность.
10. Плоскость 1x + 1y + 1z − 6 = 0; точка P(1, -1, 5). Вычислите левую часть и установите принадлежность.

Восстановите неизвестную координату

11. Плоскость 2x−y+3z−7=0. Найдите z точки P(2;3;z), если P лежит в плоскости.
12. Плоскость x+2y−z−1=0. Найдите y точки M(3;y;4), лежащей в ней.
13. Плоскость −x+3y+2z−8=0. Находится ли точка (0;0;4) в ней?
14. Плоскость 2x−4y+z−6=0. Каково значение параметра t, если точка (t;1;0) принадлежит ей?
15. Плоскость 3x+2y−z+5=0. Ученик подставил точку (−1;1;4) и получил 0. Проверьте.
16. Плоскость x−2y+2z+1=0. Ученик заявил, что точка (1;1;0) лежит на ней, потому что x=y. Оцените.

Ключ и разбор решений

1. Подстановка координат (1, 0, 2) даёт 2·1+(-1)·0+(1)·2+(-4)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
2. Подстановка координат (0, -1, 1) даёт 1·0+(2)·-1+(-1)·1+(3)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
3. Подстановка координат (0, 2, 0) даёт 3·0+(0)·2+(2)·0+(-6)=-6. P не принадлежит плоскости: левая часть не равна нулю.
4. Подстановка координат (1, 0, -1) даёт -1·1+(2)·0+(2)·-1+(1)=-2. P не принадлежит плоскости: левая часть не равна нулю.
5. Подстановка координат (5, 1, 1) даёт 0·5+(1)·1+(-3)·1+(2)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
6. Подстановка координат (2, 1, 1) даёт 1·2+(-1)·1+(1)·1+(-2)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
7. Подстановка координат (0, 1, 2) даёт 2·0+(3)·1+(-2)·2+(1)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
8. Подстановка координат (2, 0, 0) даёт 4·2+(1)·0+(0)·0+(-8)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
9. Подстановка координат (1, 2, 1) даёт 3·1+(-2)·2+(1)·1+(0)=0. P принадлежит плоскости: равенство выполнено.
10. Подстановка координат (1, -1, 5) даёт 1·1+(1)·-1+(1)·5+(-6)=-1. P не принадлежит плоскости: левая часть не равна нулю.
11. 2·2−3+3z−7=0, отсюда 3z=6, z=2. Обратная подстановка: 4−3+6−7=0.
12. 3+2y−4−1=0, то есть 2y=2, y=1; контроль: 3+2−4−1=0.
13. Да: 0+0+8−8=0. Нулевые первые координаты не мешают принадлежности.
14. 2t−4−6=0, значит 2t=10 и t=5. Проверка: 10−4−6=0.
15. Правильная подстановка −3+2−4+5=0. Ученик оказался прав, но вывод следует из арифметики, а не из рисунка.
16. Подстановка 1−2+0+1=0, точка действительно лежит в плоскости, но довод x=y недостаточен: нужно проверить всё трёхмерное уравнение.

Контроль возможной ошибки

Особенно внимательно проверяйте знаки: запись «−4y» означает произведение −4 на числовое значение y; для отрицательного y получится положительное слагаемое. Если точка не принадлежит плоскости, это не доказывает, что она лежит на параллельной ей плоскости: для такого вывода нужны дополнительные данные.

Обратная проверка считается обязательной при поиске неизвестной координаты: сначала решите полученное линейное уравнение, затем подставьте найденное число в исходную запись плоскости. Совпадение с нулём исключает простые арифметические ошибки, однако ничего не говорит о других геометрических свойствах точки, пока они не заданы.

На итоговой самостоятельной работе можно выдать ученику только первые две колонки таблицы и попросить восстановить последние. Такой формат проверяет не скорость вычислений, а понимание критерия: принадлежность определяется точным равенством, а не примерной близостью координат и не визуальным впечатлением от наброска.

Почему подстановка одновременно необходима и достаточна

Уравнение плоскости определяет множество всех пространственных точек, чьи координаты удовлетворяют равенству. Если A, B, C не равны нулю одновременно, это действительно плоскость, а не пустое или всё пространство. Поэтому проверка L=0 не является приближённым методом и не зависит от масштаба чертежа. Она непосредственно выражает математическое определение принадлежности точки данной плоскости. Ненулевое число L означает, что точка не принадлежит именно этой плоскости, даже если при округлении рисунок кажется убедительным.

Рассмотрим два контрастных случая. Для плоскости x+y+z−6=0 точка (1;2;3) подходит, потому что 1+2+3−6=0. А точка (1;2;4) не подходит: получается 1. Вторая точка находится лишь на одну единицу выше по оси z, но принадлежность требует точного равенства нулю. Если заданы десятичные координаты и коэффициенты, сохраняйте необходимую точность вычислений и не объявляйте небольшое отклонение нулём без условия о погрешности измерений.

Что делать, если плоскость задана не в готовом виде

Уравнение 2(x−1)−3(y+2)+z=0 уже задаёт плоскость. Можно сначала раскрыть скобки: 2x−3y+z−8=0, затем подставлять координаты. Либо подставить их сразу в скобки. Оба маршрута равносильны и обязаны дать одинаковое значение левой части. Для точки (1;−2;0) оба вычисления дают нуль. Такая двойная проверка полезнее угадывания положения точки по условной картинке.

Если требуется восстановить координату, не заменяйте поиск линейного уравнения попыткой подобрать число. Например, в плоскости 2x+y−3z+1=0 при x=1 и y=0 получаем 2−3z+1=0, поэтому z=1. Далее независимо подставляем (1;0;1): 2+0−3+1=0. Для другой известной пары координат будет другое значение z; его следует получать из исходной плоскости, а не переносить из предыдущего примера.

Наконец, проверка принадлежности не вычисляет расстояние от точки до плоскости: для расстояния требуется отдельная формула с нормированием коэффициентов. Число L может измениться при умножении уравнения на ненулевое число, хотя геометрическая плоскость та же. А признак L=0 при таком умножении сохраняется. Поэтому не сравнивайте величину L из двух разных записей, когда задача спрашивает только принадлежность.