Проверка принадлежности точки сфере: задания от простого к сложному, 11 класс

Пошаговый разбор. Нужно установить, лежит ли конкретная точка именно на сфере, а не просто внутри ограниченного ею шара. На поверхности выполняется равенство расстояния до центра радиусу. Задания разработаны для 11 класса с использованием координат трёхмерного пространства.

Метод: сначала квадраты, затем вывод

1. Вычтите координаты центра из координат точки: CM=(x_M−a; y_M−b; z_M−c).
2. Найдите S=(x_M−a)²+(y_M−b)²+(z_M−c)².
3. Сравните S с r². Равенство означает «на сфере»; S<r² — «внутри шара»; S>r² — «вне шара».

Три разобранных примера

Пример А. Сфера с центром O(0;0;0), r=5, точка (3;4;0). S=3²+4²+0²=25=r². Следовательно, точка лежит на сфере.

Пример Б. При центре C(2;−1;3), r=4, точка (3;0;4) имеет квадрат расстояния 1²+1²+1²=3<16. Она внутри шара, но не лежит на сфере.

Пример В. При C(−1;3;0), r=3, точка (3;3;0) даёт S=4²=16>9. Точка вне шара; подставлять расстояние в исходную формулу сферы не требуется.

Карточка с подсказками: задания 1–6

Подсказка: каждой задаче соответствует один и только один из трёх выводов — на сфере, внутри шара, вне шара. Не путайте точку на границе с точкой, расстояние до которой просто меньше радиуса.

1. Сфера с центром C(0, 0, 0), радиусом 5 и точка M(3, 4, 0). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
2. Сфера с центром C(1, -2, 3), радиусом 3 и точка M(2, 0, 5). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
3. Сфера с центром C(-2, 1, 0), радиусом 4 и точка M(-1, 3, 1). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
4. Сфера с центром C(3, 3, -1), радиусом 2 и точка M(5, 4, -1). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
5. Сфера с центром C(-1, 0, 2), радиусом 5 и точка M(-1, 0, 7). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
6. Сфера с центром C(2, -3, 4), радиусом 4 и точка M(4, -1, 6). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.

Самостоятельные задачи: задания 7–12

Теперь самостоятельно составьте разности координат; проверьте арифметику со знаком минус. Нельзя сокращать или «упрощать» сумму квадратов до квадрата суммы.

7. Сфера с центром C(0, 5, 1), радиусом 3 и точка M(0, 2, 1). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
8. Сфера с центром C(1, 1, 1), радиусом 6 и точка M(2, 3, 3). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
9. Сфера с центром C(-3, -1, 2), радиусом 5 и точка M(1, -1, 5). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
10. Сфера с центром C(4, 0, -2), радиусом 3 и точка M(6, 2, 0). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
11. Сфера с центром C(0, 0, 6), радиусом 4 и точка M(0, 0, 2). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
12. Сфера с центром C(-2, -2, -2), радиусом 7 и точка M(0, 1, 4). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.

Повышенный уровень: задания 13–16

Для каждого вывода добавьте короткое объяснение: почему найденное неравенство или равенство описывает положение точки относительно сферы?

13. Сфера с центром C(5, 1, 0), радиусом 2 и точка M(6, 2, 0). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
14. Сфера с центром C(1, -4, 3), радиусом 5 и точка M(1, 1, 4). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
15. Сфера с центром C(0, -1, -1), радиусом 3 и точка M(1, 1, 1). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.
16. Сфера с центром C(-4, 0, 2), радиусом 5 и точка M(-4, 0, 2). Лежит ли точка на поверхности сферы? Если нет, установите положение относительно шара.

Ответы по шагам

1. CM²=(3)²+(4)²+(0)²=25; r²=25. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
2. CM²=(1)²+(2)²+(2)²=9; r²=9. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
3. CM²=(1)²+(2)²+(1)²=6; r²=16. Нет, точка внутри шара, но не на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
4. CM²=(2)²+(1)²+(0)²=5; r²=4. Нет, точка вне шара. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
5. CM²=(0)²+(0)²+(5)²=25; r²=25. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
6. CM²=(2)²+(2)²+(2)²=12; r²=16. Нет, точка внутри шара, но не на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
7. CM²=(0)²+(-3)²+(0)²=9; r²=9. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
8. CM²=(1)²+(2)²+(2)²=9; r²=36. Нет, точка внутри шара, но не на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
9. CM²=(4)²+(0)²+(3)²=25; r²=25. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
10. CM²=(2)²+(2)²+(2)²=12; r²=9. Нет, точка вне шара. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
11. CM²=(0)²+(0)²+(-4)²=16; r²=16. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
12. CM²=(2)²+(3)²+(6)²=49; r²=49. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
13. CM²=(1)²+(1)²+(0)²=2; r²=4. Нет, точка внутри шара, но не на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
14. CM²=(0)²+(5)²+(1)²=26; r²=25. Нет, точка вне шара. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
15. CM²=(1)²+(2)²+(2)²=9; r²=9. Да, на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.
16. CM²=(0)²+(0)²+(0)²=0; r²=25. Нет, точка внутри шара, но не на сфере. Сравниваются квадраты расстояний, извлекать корень необязательно.

Диагностические вопросы после решения

• Если S=0 и r>0, точка совпадает с центром и находится внутри шара, но не на поверхности.
• Если S=r², это означает равенство расстояний, даже если координаты центра и точки содержат отрицательные числа.
• Чтобы проверить точку на сфере, вычисление объёма шара 4πr³/3 совершенно не нужно.

Критерий: 1 балл — верные разности координат, 1 балл — сумма квадратов, 1 балл — корректный вывод. Максимум за 16 заданий — 48 баллов. Сверка в обратную сторону: подставьте координаты точки в уравнение сферы; должны получиться те же S и r².