Проверка признака параллелограмма для квадрата с дополнительным условием — задачи с решениями для 8 класса

Мини-тест для 8 класса. Вы проверяете доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, когда известно некоторое дополнительное условие, характерное для квадрата. Для вопросов 1–12 рассматриваются выпуклые четырёхугольники; лишь там, где это явно написано, фигура уже названа квадратом. Без доказательства нельзя предполагать четыре равные стороны или четыре прямых угла.

Обозначьте ответы: ДА — данных достаточно для параллелограмма, НЕТ — недостаточно. В вопросах с числами найдите угол. Каждый правильный ответ с объяснением приносит 2 балла: один за вывод и один за признак или контрпример.

Вопросы: решение за 12–15 минут

1. У ABCD все четыре угла по 90°. Можно ли назвать его параллелограммом?

2. У ABCD AB = BC = CD = DA и ∠A = 90°. Доказан ли параллелограмм и квадрат?

3. У ABCD ∠A = ∠B = ∠C = 90°. Каков ∠D и достаточно ли данных для параллелограмма?

4. Только AB = BC и ∠ABC = 90°. Ученик написал «доказан квадрат». Верно ли это?

5. У ABCD диагонали делятся пополам, а угол A равен 90°. Параллелограмм доказан? Можно ли назвать его квадратом?

6. У ABCD диагонали равны по длине. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что это квадрат или хотя бы параллелограмм?

7. У ABCD диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Но точка пересечения не делит AC пополам. Доказан ли параллелограмм?

8. В ABCD AO = OC, BO = OD, AC = BD и AC ⟂ BD. Докажите квадрат через признаки.

9. Известно AB ∥ CD и AB = CD = 9 см. Нужно ли для параллелограмма ещё знать прямой угол?

10. Известно только AB = CD = 7 см, а угол A равен 90°. Доказан ли параллелограмм?

11. В фигуре ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 90°, ∠D неизвестен. Ученик сказал, что угол D может быть 87°. Прав ли он?

12. В квадрате ABCD точка O — пересечение диагоналей. Равны ли AO и OC, BO и OD? Назовите признак, подтверждающий параллелограмм.

Ключ и подробный разбор спорных ответов

1. ДА. Из четырёх прямых углов следует AB ∥ CD и BC ∥ AD. Это прямоугольник, а прямоугольник является параллелограммом.

2. ДА. Обе пары противоположных сторон равны, значит параллелограмм; прямой угол делает его прямоугольником, а равные соседние стороны — квадратом.

3. ∠D = 360 − 3·90 = 90°. ДА: все четыре угла прямые, поэтому противоположные стороны параллельны.

4. НЕТ. Два соседних равных отрезка и один прямой угол не определяют положение вершины D; не доказаны пары противоположных параллельных сторон.

5. ДА, параллелограмм: диагонали взаимно делятся пополам. При прямом угле это прямоугольник. Квадрат не доказан без равенства соседних сторон.

6. НЕТ. Равенство диагоналей не означает, что они делятся пополам, и не доказывает параллельность противоположных сторон.

7. НЕТ. Перпендикулярность и равенство диагоналей без деления пополам не являются признаком параллелограмма; условие о серединах нарушено.

8. ДА. Диагонали делятся пополам ⇒ параллелограмм; равные диагонали ⇒ прямоугольник; перпендикулярные диагонали в параллелограмме ⇒ ромб. Одновременно прямоугольник и ромб ⇒ квадрат.

9. НЕТ, дополнительный прямой угол не нужен. Одна пара противоположных сторон равна и параллельна — уже достаточный признак, значит ДА, параллелограмм доказан.

10. НЕТ. Одна пара равных противоположных сторон и один прямой угол не гарантируют параллельность; нужна параллельность этой пары либо равенство второй пары.

11. НЕТ. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника — 360°. Поэтому ∠D = 360 − 270 = 90°; четырёхугольник является прямоугольником.

12. ДА. Диагонали квадрата взаимно делятся пополам: AO = OC, BO = OD. Это достаточный признак параллелограмма, не требующий вычисления углов.

Баллы и критерии

Всего 24 балла. 21–24 — свойства и признаки различаются уверенно; 16–20 — повторите роли диагоналей; 10–15 — разберите признаки параллелограмма с чертежами; 0–9 — вернитесь к определению параллельных противоположных сторон.

Особенно внимательно разберите вопросы 6–8: равные и перпендикулярные диагонали сами по себе не гарантируют параллелограмм, но если они дополнительно делятся пополам, то дают строгую цепочку доказательства квадрата. Вопросы 4 и 10 показывают, почему «похоже на квадрат» не считается доказательством.