Проверка равенства дробных записей в задаче с несколькими промежуточными долями — диагностика ошибок, 5 класс

Учебная цель. Переводить последовательные части целого в равные дробные записи, каждый раз правильно выбирая знаменатель.

При последовательных действиях слово «доля» неоднозначно без указания от чего взята часть. В задачах различаем долю от исходного количества и долю от остатка перед очередным действием. Равенство двух записей проверяют сокращением или перекрёстным умножением, но только после определения правильного целого.

Данные четырех ситуаций

Числа в трёх средних колонках — количество предметов, взятых на данном этапе, а не проценты. Последний столбец показывает остаток после всех трёх этапов. Проверьте арифметику таблицы до решения дробных задач.

Карточки 1–16: четыре вопроса к каждой ситуации

Для каждой строки таблицы выполните четыре разных действия. Указывайте исходную дробь и её сокращённую запись; не перепутайте, сколько предметов оставалось перед вторым этапом.

Ситуация 1. Школьная выставка

• № 1. Какую долю от исходных 120 составляют 30 предметов первого этапа? Запишите и сократите дробь.
• № 2. Какую долю от остатка после первого этапа составляют 45 предметов второго этапа? Запишите оба знаменателя (верный и неверный) и объясните выбор.
• № 3. Какую долю от исходного количества забрали за первые два этапа вместе? Сравните исходную и сокращённую записи.
• № 4. Какую долю от исходного количества составляют предметы, оставшиеся после трёх этапов? Проверьте, что ничего не потерялось.

Ситуация 2. Книжный обмен

• № 5. Какую долю от исходных 84 составляют 21 предметов первого этапа? Запишите и сократите дробь.
• № 6. Какую долю от остатка после первого этапа составляют 14 предметов второго этапа? Запишите оба знаменателя (верный и неверный) и объясните выбор.
• № 7. Какую долю от исходного количества забрали за первые два этапа вместе? Сравните исходную и сокращённую записи.
• № 8. Какую долю от исходного количества составляют предметы, оставшиеся после трёх этапов? Проверьте, что ничего не потерялось.

Ситуация 3. Набор открыток

• № 9. Какую долю от исходных 150 составляют 50 предметов первого этапа? Запишите и сократите дробь.
• № 10. Какую долю от остатка после первого этапа составляют 25 предметов второго этапа? Запишите оба знаменателя (верный и неверный) и объясните выбор.
• № 11. Какую долю от исходного количества забрали за первые два этапа вместе? Сравните исходную и сокращённую записи.
• № 12. Какую долю от исходного количества составляют предметы, оставшиеся после трёх этапов? Проверьте, что ничего не потерялось.

Ситуация 4. Коллекция значков

• № 13. Какую долю от исходных 96 составляют 36 предметов первого этапа? Запишите и сократите дробь.
• № 14. Какую долю от остатка после первого этапа составляют 12 предметов второго этапа? Запишите оба знаменателя (верный и неверный) и объясните выбор.
• № 15. Какую долю от исходного количества забрали за первые два этапа вместе? Сравните исходную и сокращённую записи.
• № 16. Какую долю от исходного количества составляют предметы, оставшиеся после трёх этапов? Проверьте, что ничего не потерялось.

Диагностика: четыре спорных утверждения

• № 17. «На выставке доля второго этапа от текущего остатка равна 45/120 = 3/8». Найдите неверно выбранное целое.
• № 18. «При книжном обмене после второго этапа осталось 35 книг». Сверьте разность и сумму.
• № 19. «После распределения открыток остаток составляет 30/75 = 2/5 от первоначального количества». Проверьте знаменатель.
• № 20. «В коллекции значков первый этап и окончательный остаток равны по доле от исходного количества: оба 3/8». Найдите противоречие.

Ключ к заданиям 1–16

Школьная выставка — проверка последовательных долей

№ 1. 30/120 = 1/4; делим количество первого этапа на исходное 120.

№ 2. 45/90 = 1/2; после первого этапа осталось 120-30=90; делить на 120 неверно для доли от остатка.

№ 3. 75/120 = 5/8; за два этапа взяли 30+45=75.

№ 4. 30/120 = 1/4; остаток: 120−30−45−15=30; проверка: 30+45+15+30=120.

Книжный обмен — проверка последовательных долей

№ 5. 21/84 = 1/4; делим количество первого этапа на исходное 84.

№ 6. 14/63 = 2/9; после первого этапа осталось 84-21=63; делить на 84 неверно для доли от остатка.

№ 7. 35/84 = 5/12; за два этапа взяли 21+14=35.

№ 8. 21/84 = 1/4; остаток: 84−21−14−28=21; проверка: 21+14+28+21=84.

Набор открыток — проверка последовательных долей

№ 9. 50/150 = 1/3; делим количество первого этапа на исходное 150.

№ 10. 25/100 = 1/4; после первого этапа осталось 150-50=100; делить на 150 неверно для доли от остатка.

№ 11. 75/150 = 1/2; за два этапа взяли 50+25=75.

№ 12. 30/150 = 1/5; остаток: 150−50−25−45=30; проверка: 50+25+45+30=150.

Коллекция значков — проверка последовательных долей

№ 13. 36/96 = 3/8; делим количество первого этапа на исходное 96.

№ 14. 12/60 = 1/5; после первого этапа осталось 96-36=60; делить на 96 неверно для доли от остатка.

№ 15. 48/96 = 1/2; за два этапа взяли 36+12=48.

№ 16. 24/96 = 1/4; остаток: 96−36−12−24=24; проверка: 36+12+24+24=96.

Разбор ошибок 17–20

• № 17. Верно относительно остатка: 45/(120−30) = 45/90 = 1/2. Запись 45/120 = 3/8 верна только относительно исходного числа, поэтому не отвечает на вопрос.
• № 18. Осталось 49 книг: 84−21−14 = 49. Число 35 — это вместе взятые книги, а не остаток.
• № 19. От исходного числа осталось 30/150 = 1/5; 75 — количество после двух этапов, но не первоначальное целое.
• № 20. Первый этап: 36/96 = 3/8; остаток: 24/96 = 1/4. Эти доли различны, хотя знаменатель одинаков.

Учителю. Попросите ученика на каждом шаге подписывать: «числитель — часть, знаменатель — исходное целое или текущий остаток». Так легко отличить ошибку выбора основания от ошибки в сокращении дроби. Все дроби в ключе сокращены точно, без десятичных приближений.