Проверка равенства двух многочленов через коэффициенты: задания от простого к сложному, 7 класс

Проверка равенства двух многочленов для 7 класса. Задача этой карточки — установить, совпадают ли многочлены при всех значениях переменной, сравнивая коэффициенты одинаковых степеней. Равные при одной подстановке выражения ещё не обязательно равны как многочлены.

Вступительная задача и метод 1: таблица коэффициентов

Верно ли (x + 2)(x − 2) + 3x = x² + 3x − 4? Слева раскрываем скобки: x² − 4 + 3x. Записываем обе стороны по убыванию степеней. Коэффициенты при x² равны 1, при x равны 3, свободные члены равны −4. Следовательно, это тождество.

Отсутствующая степень означает коэффициент 0. Так, у 5x³ − 2x + 1 коэффициент при x² равен нулю, а при x — −2, а не 2.

Метод 2: вычитание двух многочленов

Перенесём всё в одну сторону: разность A(x) − B(x) равна нулевому многочлену тогда и только тогда, когда все её коэффициенты равны нулю. Например, (2x² − 3x + 1) − (2x² − 3x + 4) = −3, поэтому многочлены не тождественны; их значения различаются на 3 при любом x.

Оба метода доказывают равенство без перебора значений x. Числовая подстановка пригодна для быстрого опровержения: достаточно найти одно значение, при котором результаты разные. Но одно совпадение чисел не доказывает равенства всех коэффициентов.

Часть I. Сравните коэффициенты — от простого к сложному

В заданиях 1–12 укажите «равны как многочлены» или «не равны» и выпишите разность левой и правой частей после раскрытия скобок. Решения записывайте столбиком: сначала коэффициент старшей степени, затем следующей.

Часть II. Найдите неизвестный коэффициент

В заданиях 13–18 буквенные коэффициенты h, r, w, g, v, d — числа, которые нужно определить так, чтобы многочлены стали тождественно равными. Подсказка: для каждого задания достаточно приравнять коэффициенты при одной или двух степенях.

13. (h + 2)x² + 3x − 1 = 5x² + 3x − 1. Найдите h.
14. (r − 1)x + 4 = 6x + 4. Найдите r.
15. 2x² + (w + 5)x − 3 = 2x² + 9x − 3. Найдите w.
16. (g + 4)x³ − 2x = 8x³ − 2x. Найдите g.
17. (v − 3)x² + x + 7 = −x² + x + 7. Найдите v.
18. (d + 1)x² + (d − 2)x = 4x² + x. Найдите d.

Лист ответов — часть I

Лист ответов — часть II

13. h = 3. (h + 2)x² + 3x − 1 и 5x² + 3x − 1 дают одинаковые коэффициенты; при h = 3 их разность равна нулевому многочлену.
14. r = 7. (r − 1)x + 4 и 6x + 4 дают одинаковые коэффициенты; при r = 7 их разность равна нулевому многочлену.
15. w = 4. 2x² + (w + 5)x − 3 и 2x² + 9x − 3 дают одинаковые коэффициенты; при w = 4 их разность равна нулевому многочлену.
16. g = 4. (g + 4)x³ − 2x и 8x³ − 2x дают одинаковые коэффициенты; при g = 4 их разность равна нулевому многочлену.
17. v = 2. (v − 3)x² + x + 7 и −x² + x + 7 дают одинаковые коэффициенты; при v = 2 их разность равна нулевому многочлену.
18. d = 3. (d + 1)x² + (d − 2)x и 4x² + x дают одинаковые коэффициенты; при d = 3 их разность равна нулевому многочлену.

Две ловушки, которые особенно часто встречаются

Ошибка 1: 2x² + 3x нельзя сравнивать с 2x² + 3 по сумме коэффициентов: разница составляет 3x − 3. Совпадение при x = 1 не делает выражения одинаковыми при всех x.

Ошибка 2: коэффициенты должны соответствовать одинаковым степеням. В 4x³ + x и 4x² + x число 4 стоит при разных степенях, значит многочлены не равны.

Самопроверка: по одному баллу за каждый правильный вывод в части I и ещё по одному за корректно выписанную разность; в части II — по два балла за числовое значение и обоснование. Всего 36 баллов. Для полной проверки в каждом номере обоснуйте не только ответ, но и совпадение или различие коэффициентов.