Проверка разбиения фигуры для треугольников с общим основанием — тренажёр для 8 класса

Наблюдение: две треугольные части на одном основании

Даны точки A и B, расстояние AB=12 см. Точка C лежит по одну сторону прямой AB и удалена от неё на 5 см; D — по другую сторону на 7 см. Треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB, но располагаются по разные его стороны, поэтому их внутренние области не перекрываются. Их объединение — четырёхугольник с вершинами A–C–B–D; площадь можно найти как сумму площадей двух треугольников. При таком разбиении S=AB·(hC+hD)/2.

Гипотеза и проверка контрпримером

Сформулируйте условие, при котором площади можно складывать. Недостаточно знать лишь равенство оснований: если обе вершины C и D лежат по одну сторону AB, треугольники могут пересекаться внутренними областями. Например, при C=D они полностью совпадают, и «сложение» удвоит настоящую площадь. Следовательно, проверка расположения частей обязательна до вычисления.

Исследовательские карточки — от вычисления к доказательству

1. AB=10 см, высоты к AB равны 4 и 9 см, вершины по разные стороны. Найдите площадь объединения.
2. Общее основание 14 см; высоты с противоположных сторон 6 и 8 см. Найдите площади частей.
3. Два треугольника имеют AB=16 см и высоты 3 и 5 см с разных сторон. Во сколько раз вторая площадь больше первой?
4. При AB=18 см площади частей 45 и 63 см². Восстановите обе высоты.
5. Общее основание AB=20 см, объединение имеет площадь 160 см², одна высота 6 см. Восстановите вторую.
6. Точки C и D находятся по одну сторону AB и совпадают. AB=10 см, общая высота 4 см. Верно ли, что объединение имеет площадь 40 см²?
7. AB=12 см, C и D по разные стороны, hC=5, hD=7 см. Один ученик вычислил 12·(7−5)/2=12 см². Найдите ошибку.

Новые данные для проверки гипотезы

1. AB=11 см, высоты 2 и 8 см по разные стороны. Найдите площадь всего четырёхугольника.
2. Два треугольника с общим основанием 9 см имеют равную площадь 27 см². Найдите их высоты.
3. AB=13 см, вершины по разные стороны, общая площадь 91 см². Чему равна сумма высот?
4. При AB=15 см высоты 4 и 6 см по разные стороны. Найдите долю площади меньшего треугольника от целого.
5. На рисунке две треугольные части примыкают по AB, но в их внутренних областях есть перекрытие. Можно ли считать Sобщ=S₁+S₂?
6. При AB=8 см каждая из двух частей имеет площадь 32 см², вершины по разные стороны. Найдите сумму высот.
7. Учитель удвоил AB с 7 до 14 см, сохранив обе высоты 3 и 5 см и разные стороны. Во сколько раз изменится площадь?

Обоснованные решения

1. S=10·(4+9)/2=65 см².
2. 42 и 56 см², в сумме 98 см².
3. S₂/S₁=5/3. Площади 40 и 24 см² в порядке высот 5 и 3; отношение 5:3.
4. h₁=2·45/18=5 см, h₂=2·63/18=7 см.
5. h₁+h₂=2·160/20=16 см, h₂=10 см.
6. Нет. Треугольники совпадают: площадь объединения 10·4/2=20 см²; сумма дважды считает одну область.
7. При расположении по разные стороны площади складываются, нужно (5+7), поэтому 72 см². Вычитание здесь не выражает площадь объединения.
8. S=11·10/2=55 см².
9. У каждого h=2·27/9=6 см; равенство площадей при общем основании означает равенство высот.
10. h₁+h₂=2·91/13=14 см.
11. Площади 30 и 45 см²; доля 30/75=2/5=40%.
12. Нет. Необходима поправка на площадь перекрытия: Sобъединения=S₁+S₂−Sпересечения. Высоты по отдельности не определяют пересечение.
13. Высота каждой 2·32/8=8 см; сумма 16 см, общая площадь 64 см².
14. Вдвое: исходная S=7·8/2=28 см²; новая S=14·8/2=56 см².

Правило, которое можно доказать

Пусть AB=a>0 и C,D лежат в разных открытых полуплоскостях относительно прямой AB. Площадь треугольника ABC равна ahC/2, площадь ABD равна ahD/2, а их внутренние области не пересекаются. Поэтому площадь объединения равна a(hC+hD)/2. Если вершины по одну сторону, формулу для объединения нельзя использовать без дополнительных геометрических данных: треугольники могут частично или полностью перекрываться.

Проверка разумности: общая площадь двух неперекрывающихся частей обязана быть больше площади каждой отдельно. В базовом примере 72 см² больше 30 см² и 42 см². Ответ меньше одной из частей немедленно указывает на неверное вычитание, пропущенный коэффициент 1/2 или смешение высот.

Для самостоятельного рисунка проведите горизонтальную прямую AB, постройте перпендикуляры от C и D к прямой, отметьте длины hC и hD. Неважно, попадают ли основания этих перпендикуляров внутрь AB: площадь треугольника по основанию и соответствующей высоте вычисляется одинаково. Важно лишь, чтобы четырёхугольник, полученный соединением A–C–B–D, был правильно понят как объединение двух треугольников, лежащих по разные стороны основания.

Различайте разбиение, наложение и сравнение

Слово «разбиение» означает, что исходная область представлена частями, внутренние области которых не пересекаются. Если треугольники ABC и ABD с основанием AB находятся в разных полуплоскостях, они соприкасаются только по основанию, у которого площадь равна нулю. Поэтому площади корректно складывать. Но когда точки C и D расположены по одну сторону AB, нельзя гарантировать отсутствие общей внутренней области. Даже при одинаковой длине AB их вершины могут находиться на разных местах, создавая полное либо частичное наложение.

Эта логическая проверка важна не меньше арифметики. Допустим, каждому из двух треугольников приписали площадь 24 см². Если они совпадают, площадь их объединения всё равно 24 см²; если они расположены по разные стороны общего основания, объединение имеет площадь 48 см². Таким образом, одни и те же площади частей могут соответствовать разным общим площадям. Без расположения треугольников нельзя уверенно отвечать на вопрос об объединении.

Вывод формулы через два независимых вычисления

В нашем базовом примере можно сначала вычислить S_ABC=12·5/2=30 см² и S_ABD=12·7/2=42 см², а затем сложить: 30+42=72 см². Можно пойти другим путём: вынести общий множитель AB/2 и сразу получить (12/2)·(5+7)=6·12=72 см². Эти способы эквивалентны, если треугольники не перекрываются. Если ответы получились разными, обязательно перепроверьте положительность высот, единицы измерения и сторону расположения вершины D.

Ещё одно полезное следствие: если общее основание фиксировано, площадь каждой части прямо пропорциональна её высоте. При высотах 3 и 8 см отношение площадей составит 3:8 независимо от длины AB. Это даёт проверку ответа без вычисления самих площадей: меньшая высота должна соответствовать меньшей площади. Но такое сравнение не разрешает складывать площади, пока не доказано отсутствие наложения.