Проверка симметрии клетчатого рисунка по текстовому описанию координат клеток — самостоятельная работа, 5 класс

Почему координатная проверка работает

Рассматривается прямоугольная сетка с 11 столбцами (номера x от 1 до 11) и пятью строками (номера y от 1 до 5). Координата (x;y) обозначает центр целой клетки, а не вершину квадрата. Вертикальная ось проходит через центры клеток шестого столбца: x=6.

Зеркальная пара для клетки (x;y) имеет координаты (12−x;y). Доказательство простое: расстояние в числе столбцов до оси слева равно 6−x, а справа — (12−x)−6=6−x. Строка y не меняется. Применив отражение ещё раз, получим 12−(12−x)=x, то есть вернёмся в исходную клетку.

Особые случаи до начала работы

1. Клетки шестого столбца находятся на оси и не требуют другой клетки в пару.
2. Одна и та же координата, повторённая в списке, означает ту же самую закрашенную клетку, а не две.
3. Если отражённой клетки нет, рисунок несимметричен, даже если общее количество клеток слева и справа совпадает.
4. Для самопроверки сложите номера столбцов каждой неосевой пары: сумма должна быть 12; номера строк должны быть равными.

Задачи на проверку и обоснование

1. № 1. Верно ли, что клетки (2;1), (10;1), (4;3), (8;3) образуют симметричный рисунок?
2. № 2. Закрашены (3;2), (9;2), (6;4). Нарушена ли симметрия?
3. № 3. В рисунке есть (1;4), (11;4), (5;2), (7;1). Можно ли назвать его симметричным?
4. № 4. Закрашены (6;1), (6;3), (6;5). Требуются ли пары в других столбцах?
5. № 5. Даны (2;2), (4;4), (6;1). Какие клетки нужно дорисовать?
6. № 6. Даны (1;3), (10;2), (7;5). Какие координаты недостающих отражений?
7. № 7. Существуют (3;1), (3;5), (9;1), (6;3). Как завершить рисунок?
8. № 8. Закрашены (5;4), (7;4), (2;1), (10;1), (11;2). Дорисуйте клетки.
9. № 9. Есть (4;2), (8;2), (2;4). Если нельзя добавлять клетки, какие убрать для симметрии?
10. № 10. Даны (6;2), (1;1), (11;1), (9;3). Если разрешено только стирать, что стереть?
11. № 11. Можно ли доказать симметрию рисунка по координатам (2;2), (10;2), (3;3), (9;3), не чертя клетки?
12. № 12. Ученик указал (5;1), (7;1), (6;2), (6;2) и сказал: «Четыре клетки составляют две зеркальные пары». Найдите неточность.

Ответы с объяснениями

1. 1. Да: все клетки попарно отражаются; клетки с x=6 остаются на оси.
2. 2. Да: все клетки попарно отражаются; клетки с x=6 остаются на оси.
3. 3. Нет. Не хватает (5;1), (7;2).
4. 4. Да: все клетки попарно отражаются; клетки с x=6 остаются на оси.
5. 5. Дорисовать: (8;4), (10;2); после этого каждая клетка имеет отражение.
6. 6. Дорисовать: (2;2), (5;5), (11;3); после этого каждая клетка имеет отражение.
7. 7. Дорисовать: (9;5); после этого каждая клетка имеет отражение.
8. 8. Дорисовать: (1;2); после этого каждая клетка имеет отражение.
9. 9. Убрать (2;4). Оставшиеся пары и осевые клетки симметричны.
10. 10. Убрать (9;3). Оставшиеся пары и осевые клетки симметричны.
11. 11. Да. 2+10=12 и 3+9=12, y пары совпадают (2 и 3 соответственно); значит отражения присутствуют.
12. 12. Это три различные закрашенные клетки, не четыре: координата (6;2) записана дважды. Одна пара — (5;1)↔(7;1), клетка (6;2) лежит на оси.

Что считать доказательством

Для каждого «да» нужно перечислить все зеркальные пары или объяснить, почему у каждой закрашенной клетки есть отражение. Для «нет» достаточно предъявить конкретную клетку без пары. Например, клетки (3;2) и (9;2) образуют пару, но (3;2) и (9;4) — нет, хотя числа столбцов суммируются до 12: номера строк различны.

В пунктах про дополнение рисунка добавляйте минимально необходимый набор. Каждой отсутствующей зеркальной клетке соответствует одна исходная закрашенная клетка без пары. При запрете добавлять клетки поступайте наоборот: удаляйте одиночные клетки, оставляя уже существующие пары и клетки на оси.

Самопроверка: пройдите список координат дважды — слева направо и справа налево. Убедитесь, что каждая координата после двойного отражения возвращается сама в себя. Такое обоснование надёжнее одного взгляда на воображаемый рисунок.

Три развёрнутых образца математического обоснования

Образец 1. Полный набор пар. Пусть закрашены (1;2), (11;2), (4;5), (8;5), (6;3). Для пары первого столбца 1+11=12, для второй пары 4+8=12. Одинаковые номера строк показывают, что отражение вертикальное. Последняя клетка (6;3) лежит прямо на оси и при отражении остаётся там же. Значит рисунок симметричен. Никакого рисунка в координатной плоскости для такого доказательства не требуется.

Образец 2. Лишняя клетка. Есть клетки (3;4), (9;4), (5;1), (7;1) и (2;3). Четыре клетки составляют две правильные пары. Для (2;3) отражённая клетка обязана иметь координаты (10;3), но её нет. Если разрешены добавления, дописываем (10;3); если разрешены лишь стирания, убираем (2;3). Оба способа восстанавливают симметрию, однако они дают рисунки с разным количеством закрашенных клеток.

Образец 3. Поровну, но несимметрично. Слева закрашены (2;1), (4;2), справа (10;1), (8;3). По количеству всё совпало: слева две клетки, справа две. Однако для (4;2) требуется (8;2), а справа ошибочно указана (8;3). Это строгий контрпример первоначальному подозрительному утверждению. Не числа клеток, а их координатное взаимное соответствие определяет симметрию.

Почему формула отражения работает именно для 11 столбцов? Ось имеет номер 6, а сумма номеров пары равна удвоенному номеру оси: 6×2=12. Если изменить сетку и положение оси, число 12 придётся заменить. Использовать его во всех рисунках подряд, не уточнив сетку, было бы математической ошибкой.

При проверке задания № 12 считайте не строки списка, а различные закрашенные клетки. Два раза написанная координата (6;2) указывает ровно на одну клетку. Ученик может специально повторить её в записи; от этого площадь закраски и число пар не увеличиваются. Это полезная проверка внимательности при переводе текстового описания в геометрическую модель.

Как организовать самопроверку без нарисованной таблицы

Перепишите координаты в две короткие колонки: клетки левее оси (x от 1 до 5) и клетки правее оси (x от 7 до 11). Серединный столбец x=6 выпишите отдельно. Для каждой левой клетки вычислите 12−x, сохраните её y и проверьте наличие точного совпадения в правой колонке. Затем пройдите правую колонку обратно: так обнаружатся лишние клетки, которые не заметны при проверке только слева.

Если требуется восстановить рисунок, не торопитесь добавлять зеркальную клетку для каждой записи. Сначала удалите повторяющиеся записи одних и тех же координат, затем отметьте уже имеющиеся пары. Добавление нужно лишь одиночным неосевым клеткам. В задачах на удаление действует обратный принцип: сохраняйте все полноценные пары, а одиночные клетки убирайте. Один и тот же рисунок допускает несколько способов исправления, если условие не уточняет, можно ли добавлять и стирать одновременно.

Для школьной работы достаточно равенства расстояний до оси на уровне номеров столбцов. Однако результат всегда сверяйте с номером строки: именно он помогает отличить отражение относительно вертикальной оси от диагональной перестановки. Если координаты ещё не изучались в вашем классе в виде упорядоченных пар, воспринимайте их просто как запись «столбец; строка».