Проверка симметрии точек графика по известным нулям функции — задачи с решениями для 9 класса
Алгебра · 9 класс · MATH-1607
Распознайте ось симметрии параболы по её двум нулям, а затем проверьте, действительно ли указанные точки являются отражениями друг друга. В заданиях встречаются неверные координаты, которые нужно исправить.
Содержание статьи7 разделов
Памятка и образец
Если y = a(x − p)(x − q), где a ≠ 0, то нули p и q дают ось симметрии x = (p + q)/2. Точка (u; v) отражается в (p + q − u; v). Значение y не меняется. Это верно даже тогда, когда u лежит по другую сторону оси или совпадает с одним из нулей.
Пример: y = (x − 1)(x − 7), нули 1 и 7, ось x = 4. При x = 2 получаем y = (2 − 1)(2 − 7) = −5. Отражённая точка имеет координаты (6; −5); прямой расчёт при x = 6 тоже даёт −5.
Случай одного нуля нельзя считать двумя разными пересечениями: при p = q парабола касается оси Ox в вершине. Здесь задания рассматривают два названных нуля, возможно совпадающих; формула симметрии остаётся верной.
Вариант А — найдите верные пары
Для каждого номера определите ось, проверьте кандидата и, если нужно, запишите правильную симметричную точку. В графе «кандидат» могут быть ошибки в абсциссе, ординате либо ошибок нет.
| № | Функция | Исходная точка | Кандидат на отражение |
|---|---|---|---|
| 1 | y = 1(x − (−2))(x − (4)) | (−1; −5) | (3; −5) |
| 2 | y = −1(x − (−3))(x − (5)) | (0; 15) | (3; 15) |
| 3 | y = 2(x − (1))(x − (7)) | (2; −10) | (6; −7) |
| 4 | y = −2(x − (−4))(x − (2)) | (0; 16) | (−2; 16) |
| 5 | y = 1(x − (0))(x − (6)) | (2; −8) | (5; −8) |
| 6 | y = 2(x − (−5))(x − (3)) | (−2; −30) | (0; −27) |
| 7 | y = −1(x − (−2))(x − (8)) | (1; 21) | (5; 21) |
| 8 | y = 1(x − (3))(x − (9)) | (4; −5) | (9; −5) |
Вариант Б — объясните ошибки
В этой серии обращайте внимание на знак коэффициента a: отражение относительно вертикальной оси сохраняет ординату и для ветвей вверх, и для ветвей вниз.
| № | Функция | Исходная точка | Кандидат на отражение |
|---|---|---|---|
| 9 | y = 1(x − (−6))(x − (0)) | (−4; −8) | (−2; −5) |
| 10 | y = 2(x − (−1))(x − (5)) | (4; −10) | (0; −10) |
| 11 | y = −2(x − (2))(x − (8)) | (5; 18) | (6; 18) |
| 12 | y = 1(x − (−3))(x − (7)) | (0; −21) | (4; −21) |
| 13 | y = −1(x − (1))(x − (9)) | (5; 16) | (5; 19) |
| 14 | y = 2(x − (−4))(x − (4)) | (−2; −24) | (3; −24) |
| 15 | y = 1(x − (−2))(x − (6)) | (2; −16) | (2; −16) |
| 16 | y = −2(x − (0))(x − (10)) | (3; 42) | (7; 45) |
Ключ для учителя с вычислениями
Оценивание. За каждую строку — 1 балл за вычисление оси и 1 балл за корректное решение о кандидате с исправлением (максимум 32). Числовая проверка через подстановку обязательна минимум в двух строках каждого варианта.
Вариант А
- 1. Ось x = (−2 + 4)/2 = 1. Отражение (3; −5); предложенная пара верна. Проверка: 1·(3 − (−2))·(3 − (4)) = −5.
- 2. Ось x = (−3 + 5)/2 = 1. Отражение (2; 15); предложенная пара неверна: заменить её на (2; 15). Проверка: −1·(2 − (−3))·(2 − (5)) = 15.
- 3. Ось x = (1 + 7)/2 = 4. Отражение (6; −10); предложенная пара неверна: заменить её на (6; −10). Проверка: 2·(6 − (1))·(6 − (7)) = −10.
- 4. Ось x = (−4 + 2)/2 = -1. Отражение (−2; 16); предложенная пара верна. Проверка: −2·(−2 − (−4))·(−2 − (2)) = 16.
- 5. Ось x = (0 + 6)/2 = 3. Отражение (4; −8); предложенная пара неверна: заменить её на (4; −8). Проверка: 1·(4 − (0))·(4 − (6)) = −8.
- 6. Ось x = (−5 + 3)/2 = -1. Отражение (0; −30); предложенная пара неверна: заменить её на (0; −30). Проверка: 2·(0 − (−5))·(0 − (3)) = −30.
- 7. Ось x = (−2 + 8)/2 = 3. Отражение (5; 21); предложенная пара верна. Проверка: −1·(5 − (−2))·(5 − (8)) = 21.
- 8. Ось x = (3 + 9)/2 = 6. Отражение (8; −5); предложенная пара неверна: заменить её на (8; −5). Проверка: 1·(8 − (3))·(8 − (9)) = −5.
Вариант Б
- 9. Ось x = (−6 + 0)/2 = -3. Отражение (−2; −8); предложенная пара неверна: заменить её на (−2; −8). Проверка: 1·(−2 − (−6))·(−2 − (0)) = −8.
- 10. Ось x = (−1 + 5)/2 = 2. Отражение (0; −10); предложенная пара верна. Проверка: 2·(0 − (−1))·(0 − (5)) = −10.
- 11. Ось x = (2 + 8)/2 = 5. Отражение (5; 18); предложенная пара неверна: заменить её на (5; 18). Проверка: −2·(5 − (2))·(5 − (8)) = 18.
- 12. Ось x = (−3 + 7)/2 = 2. Отражение (4; −21); предложенная пара верна. Проверка: 1·(4 − (−3))·(4 − (7)) = −21.
- 13. Ось x = (1 + 9)/2 = 5. Отражение (5; 16); предложенная пара неверна: заменить её на (5; 16). Проверка: −1·(5 − (1))·(5 − (9)) = 16.
- 14. Ось x = (−4 + 4)/2 = 0. Отражение (2; −24); предложенная пара неверна: заменить её на (2; −24). Проверка: 2·(2 − (−4))·(2 − (4)) = −24.
- 15. Ось x = (−2 + 6)/2 = 2. Отражение (2; −16); предложенная пара верна. Проверка: 1·(2 − (−2))·(2 − (6)) = −16.
- 16. Ось x = (0 + 10)/2 = 5. Отражение (7; 42); предложенная пара неверна: заменить её на (7; 42). Проверка: −2·(7 − (0))·(7 − (10)) = 42.
Почему некоторые рассуждения неверны
Проверять только совпадение двух ординат недостаточно: у параболы на одном уровне действительно могут быть две точки, но это не доказывает, что предложенная абсцисса получена зеркальным отражением через нужную ось. Нельзя также менять знак y: такое действие соответствовало бы отражению относительно оси Ox, а не относительно x = (p + q)/2.
Самопроверка: сумма абсцисс симметричных точек равна сумме нулей p + q, а ординаты равны. Если оба условия выполняются для двух точек графика, пара указана правильно.
Карточка MATH-1607. Все задачи и решения находятся на этой странице; для печати используйте стандартную печать браузера.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.