Проверка симметрии точек графика с ненулевым свободным членом — мини-практикум с ответами, 9 класс

Класс: 9. Навык: находить на графике квадратичной функции пару симметричных точек, не забывая ненулевой свободный член c. В каждом упражнении c≠0; ответы содержат расчёт оси и проверку координат.

Старт. Что означает c≠0

Для f(x)=ax²+bx+c число c=f(0) — ордината пересечения с осью Oy. Однако ось симметрии параболы проходит по вертикали x=−b/(2a), а не обязательно по y-оси. Отражение точки P(x;y) имеет абсциссу 2h−x и сохраняет её ординату.

Шаг 1. Подберите отражения без ошибок

В первой части работы удобно сначала вычислять h, а потом x′. Значение f(0)=c служит хорошей контрольной точкой, но при b≠0 её отражением часто будет точка с ненулевой абсциссой.

1. Для функции f(x)=x² − 6x + 5 задана точка с абсциссой x=0. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
2. Для функции f(x)=2x² − 8x + 3 задана точка с абсциссой x=0. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
3. У параболы f(x)=−x² + 4x + 9 найдите ось симметрии и абсциссу точки, симметричной P(1; 12).
4. Для функции f(x)=x² + 2x − 7 задана точка с абсциссой x=0. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
5. Исправьте ошибку: для f(x)=2x² + 4x + 5 и точки P(−2; 5) назвали симметричной точку Q(1; 5).

Шаг 2. Верно или нет: исправьте отражение

Для каждой записи с предложенной точкой проверьте равенство (x+x′)/2=h. Это надёжнее, чем зеркально переносить рисунок «на глаз». Следите, чтобы при исправлении координаты y не менялись.

1. Для функции f(x)=−2x² − 8x + 3 задана точка с абсциссой x=−1. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
2. У параболы f(x)=x² − 4x + 6 найдите ось симметрии и абсциссу точки, симметричной P(3; 3).
3. Для функции f(x)=3x² − 6x + 2 задана точка с абсциссой x=−1. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
4. Исправьте ошибку: для f(x)=−x² − 6x − 5 и точки P(0; −5) назвали симметричной точку Q(−5; −5).

Шаг 3. Несколько самостоятельных переносов

Теперь сначала найдите ось, затем пару симметричных абсцисс и лишь после этого значение функции. Если ось не совпадает с Oy, нельзя заменять x на −x — это другая операция.

1. Для функции f(x)=2x² − 12x + 11 задана точка с абсциссой x=2. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
2. У параболы f(x)=x² + 8x + 10 найдите ось симметрии и абсциссу точки, симметричной P(−3; −5).
3. Для функции f(x)=−2x² + 4x + 7 задана точка с абсциссой x=2. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
4. Исправьте ошибку: для f(x)=3x² + 12x − 4 и точки P(−1; −13) назвали симметричной точку Q(−2; −13).
5. Для функции f(x)=x² − 2x − 9 задана точка с абсциссой x=4. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.

Шаг 4. Итоговый контроль

В последнем блоке встретятся отрицательные a и b, а также случай b=0. При b=0 ось действительно совпадает с Oy; при этом c по-прежнему может быть отличным от нуля.

1. У параболы f(x)=−x² + 8x + 5 найдите ось симметрии и абсциссу точки, симметричной P(0; 5).
2. Для функции f(x)=2x² + 3 задана точка с абсциссой x=5. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.
3. Исправьте ошибку: для f(x)=x² + 6x + 4 и точки P(0; 4) назвали симметричной точку Q(−5; 4).
4. Для функции f(x)=−3x² + 6x + 2 задана точка с абсциссой x=2. Назовите отражённую точку и докажите равенство ординат.

Ответы и подробная проверка: шаг 1

1. (6; 5). Ось x=3; 2h−0=6. Подстановка в f даёт f(0)=f(6)=5.
2. (4; 3). Ось x=2; 2h−0=4. Подстановка в f даёт f(0)=f(4)=3.
3. Ось x=2, отражённая абсцисса 3. Формула h=−b/(2a)=2, затем x′=2h−x. Обе ординаты равны 12.
4. (−2; −7). Ось x=−1; 2h−0=−2. Подстановка в f даёт f(0)=f(−2)=−7.
5. Неверно. Ось x=−1; 2h−−2=0, а не 1. Правильная Q(0; 5); проверка по подстановке даёт одинаковые y.

Ответы: шаг 2

1. (−3; 9). Ось x=−2; 2h−−1=−3. Подстановка в f даёт f(−1)=f(−3)=9.
2. Ось x=2, отражённая абсцисса 1. Формула h=−b/(2a)=2, затем x′=2h−x. Обе ординаты равны 3.
3. (3; 11). Ось x=1; 2h−−1=3. Подстановка в f даёт f(−1)=f(3)=11.
4. Неверно. Ось x=−3; 2h−0=−6, а не −5. Правильная Q(−6; −5); проверка по подстановке даёт одинаковые y.

Ответы: шаг 3

1. (4; −5). Ось x=3; 2h−2=4. Подстановка в f даёт f(2)=f(4)=−5.
2. Ось x=−4, отражённая абсцисса −5. Формула h=−b/(2a)=−4, затем x′=2h−x. Обе ординаты равны −5.
3. (0; 7). Ось x=1; 2h−2=0. Подстановка в f даёт f(2)=f(0)=7.
4. Неверно. Ось x=−2; 2h−−1=−3, а не −2. Правильная Q(−3; −13); проверка по подстановке даёт одинаковые y.
5. (−2; −1). Ось x=1; 2h−4=−2. Подстановка в f даёт f(4)=f(−2)=−1.

Ответы: шаг 4

1. Ось x=4, отражённая абсцисса 8. Формула h=−b/(2a)=4, затем x′=2h−x. Обе ординаты равны 5.
2. (−5; 53). Ось x=0; 2h−5=−5. Подстановка в f даёт f(5)=f(−5)=53.
3. Неверно. Ось x=−3; 2h−0=−6, а не −5. Правильная Q(−6; 4); проверка по подстановке даёт одинаковые y.
4. (0; 2). Ось x=1; 2h−2=0. Подстановка в f даёт f(2)=f(0)=2.

Проверьте себя: в каждой паре (x₁;y) и (x₂;y) выполняется x₁+x₂=2h, а y одинаково. Ошибка «при отражении меняется знак y» относится к отражению относительно горизонтальной оси, а здесь используется вертикальная ось симметрии квадратичного графика.