Проверка сохранения отношения при увеличении только одной величины — проверочная работа по математике, 6 класс

6 класс. Практическая цель: экспериментально установить, почему увеличение только одного члена отношения обычно меняет значение отношения, а равенство требует проверки. Все величины в условиях учебные; задания подходят для распечатки, а ответы расположены после упражнений.

Наблюдение: одна величина выросла — как поступить с отношением?

Представьте две верёвки длиной 6 см и 9 см. Их отношение равно 2:3. Удлинили только первую верёвку на 3 см. Новое отношение 9:9 = 1:1. Длина второй верёвки осталась прежней, но отношение не сохранилось. Одного слова «увеличилось» недостаточно: надо вычислить оба частных.

Второй опыт: увеличим обе длины в два раза: 12:18 = 2:3. Это уже другой процесс — одинаковое умножение обоих членов отношения. Для положительных величин a и b можно проверить правило формулой: (ka):(kb) = a:b при k > 0 и b ≠ 0.

Исследование — задания 1–6

1. Исходные длины относятся как 6:9. Первую длину увеличили на 3, вторую не меняли. Совпало ли новое отношение с прежним?
2. Начальное число учеников в двух группах 12 и 18. В первую добавили шесть учеников. Сравните отношения.
3. Выполните опыт с числами 5 и 10: увеличьте только первое число вдвое. Что покажут частные?
4. Отношение 8:20. Только вторую величину увеличили на 5. Как изменилось частное?
5. Сформулируйте правило для положительных a, b: что будет с a:b, если a заменить на a + d, d > 0?
6. Сформулируйте правило для a > 0, b > 0: что будет, если увеличить только b до b + d?

Контрпример и допустимые значения — задания 7–8

Не переписывайте правило «один член изменился — отношение изменилось» без оговорок. При нулевых значениях бывают особые случаи; при нулевом делителе отношение вообще не определено.

1. Рассмотрите контрпример к фразе «любое увеличение одного числа разрушает отношение»: 0:7 и 0:14.
2. Можно ли считать 7:0 отношением? Поможет ли увеличение только нулевого второго члена до 2?

Применяем к масштабу и пропорциям — задания 9–12

1. Масштаб рисунка: 3 см соответствует 60 см предмета. Длину на рисунке увеличили до 4 см, реальную оставили 60 см. Проверка.
2. План: 5 см соответствует 2 м. Реальное расстояние стало 3 м, план остался 5 см. Что изменилось?
3. Найдите недостающую вторую величину, если пару 4 и 11 заменили на 12 и x, сохраняя отношение.
4. Проверьте, возможно ли сохранить отношение 7:15 после замены только первого члена на 14.

Самостоятельное обоснование — задания 13–14

1. Студент написал: «10:25 = 15:25, потому что обе записи содержат 25». Объясните ошибку.
2. Составьте критерий: при каких условиях (a + d):b = a:b для b ≠ 0?

Результаты исследования и полный ключ

Наблюдения 1–6

1. Было 6:9 = 2:3. Стало 9:9 = 1:1. Не сохранилось: изменился только первый член.
2. Было 12:18 = 2:3. Стало 18:18 = 1:1; отношение изменилось, хотя численность второй группы прежняя.
3. Было 5/10 = 0,5; стало 10/10 = 1. Сохранения нет. При положительном делителе удвоение числителя удваивает частное.
4. Было 8/20 = 0,4, стало 8/25 = 0,32: уменьшилось. При неизменном положительном числителе увеличение знаменателя уменьшает отношение.
5. (a + d)/b = a/b + d/b при b > 0. Так как d/b > 0, отношение увеличится, а не сохранится.
6. a/(b + d) < a/b, поскольку b + d > b > 0. Значение отношения уменьшается.

Исключения 7–8

1. Оба отношения равны нулю: 0/7 = 0/14 = 0. Для нулевого числителя увеличение только ненулевого делителя сохраняет нулевое отношение. Поэтому правило об изменении нужно формулировать для положительных величин.
2. Частное 7/0 не определено, поэтому исходное отношение нельзя сравнивать с 7:2 как с двумя числовыми значениями.

Прикладные случаи 9–12

1. Было 3:60 = 1:20; стало 4:60 = 1:15. Масштаб изменился. Для сохранения масштаба вместе с 3→4 см реальная длина должна стать 80 см.
2. 2 м = 200 см, 3 м = 300 см. Было 5:200 = 1:40, стало 5:300 = 1:60. Прежний масштаб не сохранён.
3. 4/11 = 12/x, откуда 4x = 132, x = 33. Если вторую величину оставили бы 11, отношение изменилось бы.
4. Если второй член остаётся 15, получаем 14:15 вместо 7:15, нет. Чтобы получить равное отношение, второй член тоже надо удвоить до 30.

Проверка доказательства 13–14

1. 10/25 = 0,4, а 15/25 = 0,6. Наличие общего второго члена не означает равенства отношений; первый член изменился.
2. Из (a+d)/b = a/b следует d/b = 0, значит d = 0. При настоящем увеличении d > 0 равенство невозможно, если b не ноль.

Как исследовать правило, не угадывая ответ

Прежде чем вычислять значение отношения, объясните, какое именно изменение описано в условии. Слова «первую величину увеличили на 2» означают прибавление двух единиц, а не умножение на два. Запись «увеличили в 2 раза» означает умножение. Для положительных a и b это разные преобразования: (a+2):b и (2a):b. Оба, вообще говоря, изменяют отношение, но не в одинаковой степени. Если же коэффициент увеличения одинаков для двух членов, например (2a):(2b), значение отношения остаётся прежним.

Есть полезная проверка без десятичных дробей. Для чисел 8 и 12 исходное отношение равно 2:3. При увеличении первого члена до 10 проверяем 8·12 и 10·12: перекрёстные произведения не равны, значит 8:12 ≠ 10:12. Если вместо этого увеличили оба члена в 1,5 раза, получим 12:18. Теперь 8·18 = 12·12 = 144; равенство отношений доказано. Этот способ удобен для дробей, у которых неудобные десятичные частные.

Деление на ноль запрещено не потому, что «ответ большой», а потому, что числового частного не существует. Поэтому выражение 7:0 нельзя включать в пропорцию как полноценную сторону равенства. Нулевая первая величина при положительной второй требует отдельной проверки: 0:7 = 0:14 действительно верно, но для реальных длин из условия «всё увеличили» такая модель может вообще не соответствовать смыслу опыта.

Вывод, который следует записать самостоятельно

У положительных величин увеличение только первого члена при неизменном втором делает отношение больше; увеличение только второго делает его меньше. Чтобы не изменить численное отношение, оба члена умножают или делят на один и тот же ненулевой множитель. Разные единицы перед вычислением приводят к одной системе.

Дополнительно проверьте логику доказательства: равенство a/b = c/d при b ≠ 0 и d ≠ 0 означает ad = bc. Недостаточно сравнить только разности a−c и b−d: равные разности не обеспечивают равного отношения. Случай a=0, b≠0 нужно рассматривать отдельно.