Проверка соответствия графику для сравнения линейной и квадратичной модели: мини-практикум с ответами, 8 класс

Наблюдение: два похожих набора данных

Два ученика строят графики зависимости y от x. Первый утверждает, что y меняется с одинаковой скоростью при одинаковом изменении x; второй считает, что график симметричен относительно оси ординат и имеет наименьшее значение. Они получают следующую таблицу. Посмотрите прежде всего на x=0 и x=2: там значения совпадают, хотя формулы различны.

Сформулируйте собственную гипотезу: достаточно ли одной точки или даже двух совпадений, чтобы объявить графики одинаковыми? Запишите, чем различаются приращения на соседних равных шагах x. Не используйте внешний графический калькулятор: все необходимые точки находятся по формулам.

Выведите рабочее правило

Для линейной функции L(x)=kx+b при равных изменениях x величина Δy одинакова и равна k·Δx. В нашем примере k=2. Для квадратичной функции Q(x)=x²+2 изменения зависят от положения на оси: Q(−1)=Q(1)=3, Q(0)=2. Равные значения при двух различных x у параболы не указывают на горизонтальный отрезок.

Числовая таблица может подсказать модель, но не доказывает, что неизвестная реальная зависимость обязательно линейна или квадратична. В данном исследовании формулы даны заранее — именно они определяют полные графики, в том числе между табличными x.

Исследование и контрпримеры — задания № 1–7

1. № 1. Проверьте по таблице значения обеих моделей при x=−2. Какая точка относится к L, а какая к Q?
2. № 2. Объясните, почему три точки L с x=−1, 0, 1 лежат на одной прямой.
3. № 3. Может ли график Q пройти через (−1; 3), (0; 2), (1; 3)?
4. № 4. Для каких из табличных x равны L(x) и Q(x)?
5. № 5. Ученик решил: «Обе модели совпали в двух точках, значит это один график». Найдите контрпример.
6. № 6. Можно ли использовать точки (2; 6) и (3; 8) как доказательство, что Q линейная?
7. № 7. Сравните изменения L от x=1 до x=2 и Q на том же отрезке.

Уточнение модели — задания № 8–14

Здесь применяйте уже не только чтение таблицы, но и вычисления по формулам. Если две функции совпали при определённом x, решите уравнение равенства и убедитесь, что других точек пересечения нет.

8. № 8. Назовите точку из таблицы, в которой Q имеет минимум, и докажите это по формуле.
9. № 9. Определите, какой график проходит через точку (4; 10), а какой — через (4; 18).
10. № 10. Рассчитайте значение Q(−3), которого нет в таблице, используя формулу. А L(−3)?
11. № 11. Уточните число решений уравнения L(x)=Q(x) на всей числовой прямой.
12. № 12. Если требуется прогноз при x=5, вычислите обе модели и оцените расхождение.
13. № 13. Предложите одну проверку, которая отличает параболу Q от прямой L по симметрии.
14. № 14. Может ли показание y=6 при x=2 служить единственным доказательством правильности модели? Поясните.

Ключ с доказательствами к исследованию

1. № 1. L(−2)=−2, Q(−2)=6. Поэтому (−2; −2) — точка прямой L, а (−2; 6) — параболы Q; перепутать модели нельзя.
2. № 2. Выходы равны 0, 2, 4: при одинаковом шаге Δx=1 приращение Δy=2 постоянно. Это согласуется с формулой L(x)=2x+2.
3. № 3. Да. Q(−1)=3, Q(0)=2, Q(1)=3. Симметрия относительно оси x=0 не означает, что функция постоянна.
4. № 4. x=0 и x=2. Оба раза значения совпадают: при 0 равны 2, при 2 равны 6.
5. № 5. x=1: L(1)=4, Q(1)=3. Две общие точки не делают прямую параболой.
6. № 6. Нет. При x=3 парабола имеет Q(3)=11; точка (3; 8) соответствует L, а не Q.
7. № 7. L: 4→6, приращение +2; Q: 3→6, приращение +3. Разные приращения показывают разные зависимости.

Итог первой части: одинаковые табличные значения — не равенство двух графиков. На x=1 достаточно одного верно вычисленного контрпримера, чтобы опровергнуть гипотезу о совпадении функций.

Разбор второй части и проверка

8. № 8. Q(x)=x²+2≥2 для всех действительных x, и при x=0 достигается 2. Вершина — (0; 2).
9. № 9. L проходит через (4; 10); Q — через (4; 18), поскольку 2·4+2=10 и 4²+2=18.
10. № 10. Q(−3)=9+2=11; L(−3)=−6+2=−4. Здесь формулы позволяют выходить за табличные x.
11. № 11. 2x+2=x²+2 ⇒ x²−2x=0 ⇒ x(x−2)=0. Два решения: 0 и 2. Это объясняет обе общие точки.
12. № 12. L(5)=12, Q(5)=27; разница 15. Нельзя выбирать модель без обоснования только из-за совпадений при x=0 и 2.
13. № 13. Q(−2)=Q(2)=6, а L(−2)=−2, L(2)=6. Q симметрична относительно x=0, прямая L такой симметрии не имеет.
14. № 14. Нет. Обе модели дают y=6 при x=2. Надо сравнить другие x (например, x=1) и физический смысл зависимости.

Полная проверка общих точек не ограничивается таблицей: равенство 2x+2=x²+2 эквивалентно x(x−2)=0, поэтому общих абсцисс только две. В точке x=2 одинаковый выход 6, но при x=3 уже 8 и 11. Ошибочный вывод по одной общей точке изменил бы последующие прогнозы.

Итог исследовательского урока

Отличайте три вопроса: принадлежит ли точка конкретному графику; какие точки совпадают у двух моделей; какая модель описывает реальную ситуацию. Первый вопрос решает подстановка, второй — уравнение и таблица, третий требует дополнительных измерений и смысловой проверки. Для самопроверки нарисуйте обе кривые на одних осях по семи столбцам и отметьте общие точки (0; 2) и (2; 6).

Дополнительная проверка по разностям

Есть быстрый способ сравнить характер изменения двух графиков, даже не рисуя координатную плоскость. Выпишите значения для x=−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 и найдите разности между соседними значениями. Для прямой L получатся шесть одинаковых прибавок: 2, 2, 2, 2, 2, 2. Для параболы Q разности другие: −3, −1, +1, +3, +5, +7. Они не равны друг другу, зато каждая последующая разность больше предыдущей на 2. Это согласуется с квадратом x в формуле и позволяет проверить таблицу на арифметические ошибки.

Важно учитывать порядок аргументов. Если случайно переставить столбцы −2 и −1, последовательность разностей уже не соответствует шагу +1 по x и вывод окажется неверным. В данном исследовании обе модели построены для одной и той же сетки входов. Поэтому сравниваются результаты при одинаковых x, а не произвольные соседние точки на двух разных графиках.

Рассмотрите ещё особый случай: в x=0 обе функции равны 2, но их поведение рядом различается. При x=−1 прямая имеет 0, а парабола 3; при x=1 прямая имеет 4, а парабола тоже 3. Сходство в одной точке никак не определяет соседние значения. Для выбора модели необходимо учитывать весь набор измерений, а не только красивое совпадение.