Проверка соответствия графику при наличии одинаковых значений функции — задания с разбором, 8 класс

Памятка перед распечаткой

Точка (a; b) соответствует графику y=f(x), когда f(a)=b. Координата x — вход, y — выход. Если одно число y повторяется несколько раз, это не ошибка: горизонтальная прямая может пересекать график функции более чем в одной точке. Но вертикальная прямая x=a не должна соответствовать двум разным значениям функции.

В заданиях рассматриваем табличные точки. Без отдельного правила нельзя делать вывод об отсутствующих x и о форме кривой между соседними точками. Во всех координатных парах на первом месте стоит x, на втором — y. Для ответа «нет» достаточно показать несовпадение в соответствующем столбце; для ответа «да» — найти точное совпадение обоих чисел.

На листе удобно делать две пометки: «совпало» у верной пары и «y не тот» у ошибочной. Если одинаковый y встречается несколько раз, выпишите все подходящие x, а не только первое найденное значение.

Вариант А — одинаковые ординаты, разные абсциссы

Используйте только данные таблицы A. На координатной плоскости отмечаются пары, взятые из одного столбца. Вопросы № 1–9 требуют объяснения коротким равенством.

1. № 1. Принадлежит ли графику A точка (−4; 3)? Укажите строку проверки.
2. № 2. Можно ли отметить на графике A точку (−3; 3)?
3. № 3. Проверить две точки (0; 1) и (0; 3). Какая возможна?
4. № 4. Определите все указанные в таблице x, при которых f(x)=3.
5. № 5. Верно ли утверждение: «При одинаковом y точки обязаны иметь одинаковый x»?
6. № 6. Выберите допустимую пару точек с ординатой 2: (1; 2), (3; 2), (−1; 2).
7. № 7. Проверьте, может ли пара (2; 3) и (2; 1) одновременно лежать на графике A.
8. № 8. Принадлежит ли графику A точка (4; 3)? Можно ли ответить «нет» для неизвестной функции вне таблицы?
9. № 9. Составьте три верные точки A с одинаковым y и объясните, почему это не нарушает определение функции.

Вариант Б — отрицательные значения и повторения

Здесь некоторые значения функции отрицательны; особенно внимательно читайте знаки. Работайте с другой таблицей, не переносите в неё ответов варианта A.

10. № 10. Принадлежат ли графику B точки (−5; 0) и (0; 0)?
11. № 11. Проверить утверждение: (−4; 2) лежит на B, а (−2; 3) не лежит.
12. № 12. Перечислите все табличные точки B, для которых y=−1.
13. № 13. Ученик поставил (5; 3) и (4; 3). Назовите ошибочную, если она есть.
14. № 14. Сколько указанных разных x соответствуют значению y=2?
15. № 15. На графике предлагают поставить (−1; −1) и (−1; 1). Может ли он быть графиком одной функции?
16. № 16. Запишите значение B при x=2 и противоположный по знаку выход. Какую точку действительно задаёт таблица?
17. № 17. Для ординаты 3 выберите возможную абсциссу: −5, 4, 0, 5.
18. № 18. Объясните, доказывает ли равенство f(−4)=f(−2)=2, что график между этими точками горизонтален.

Ключ учителя — вариант А

1. № 1. Да. При x=−4 в таблице стоит f(x)=3; обе координаты совпадают.
2. № 2. Нет. Таблица даёт f(−3)=1, а не 3. Повторение числа 3 в других столбцах не помогает.
3. № 3. (0; 1). Для входа 0 указан единственный выход 1; (0; 3) не принадлежит.
4. № 4. −4, −2, 2. На графике функции горизонтальная прямая y=3 пересекает три табличные точки.
5. № 5. Неверно. Например, (−4; 3) и (2; 3) имеют разные абсциссы, но обе принадлежат графику.
6. № 6. (1; 2) и (3; 2). При x=−1 значение функции равно 4.
7. № 7. Нет. Одному x=2 функция не может назначать разные значения. Таблица подтверждает только (2; 3).
8. № 8. По таблице установить нельзя. x=4 отсутствует среди заданных входов; для неизвестного продолжения функции значение не определено.
9. № 9. (−4; 3), (−2; 3), (2; 3). Разные x могут вести к одному y; запрещено обратное — два разных y при одном x.

Диагностический акцент: задания № 4 и № 6 проверяют поиск нескольких входов для одного выхода; задание № 7 выявляет смешение одинаковой абсциссы с одинаковой ординатой. В № 8 важно различать отсутствие информации и математически доказанное отсутствие точки.

Ключ учителя — вариант Б

10. № 10. Да, обе. Нуль встречается при входах −5 и 0.
11. № 11. Обе части верны. f(−4)=2 и f(−2)=2, поэтому (−2; 3) неверна.
12. № 12. (−1; −1), (2; −1). Других значений −1 в ряду нет.
13. № 13. Ошибочной нет. Для входов 5 и 4 функция действительно равна 3.
14. № 14. Два: x=−4 и x=−2. Считаем входы, а не различающиеся значения.
15. № 15. Нет. Верна только (−1; −1), поскольку при x=−1 получено −1.
16. № 16. f(2)=−1; противоположное число +1. Верная точка (2; −1), а не (2; 1).
17. № 17. 4 и 5. При −5 и 0 значение функции равно нулю.
18. № 18. Не доказывает. По нескольким точкам нельзя определить промежуточный ход неизвестной функции. Горизонтальный отрезок возможен только при отдельно заданной интерполяции.

Если ученик предлагает соединить точки в отрезки, уточните условие: для этой таблицы способ соединения не задан. Верность табличной пары проверяется непосредственно, а вопрос о промежуточных значениях требует дополнительной модели.

Как оценивать

За каждое из 18 заданий — 1 балл за правильный вывод и корректную проверку; для заданий с несколькими точками требуется перечислить все верные. 16–18 баллов — уверенная проверка, 12–15 — повторить чтение таблицы, 0–11 — ещё раз отработать порядок координат и знак значения функции.