Проверка соответствия сторон для подобия по двум сторонам: тренажёр для 8 класса

Мастерская рекламных треугольных рам

Для школьной выставки изготавливают пары треугольных рам. В таблице указаны две стороны, которые соединяются в вершине, и угол между ними. Указанная пара сторон считается предлагаемым соответствием: первая сторона первой рамы ↔ первая сторона второй, вторая ↔ вторая. Чтобы применить признак подобия по двум сторонам и углу между ними, нужно одновременно проверить оба отношения длин и равенство включённых углов. Все размеры в сантиметрах.

Работа по таблице: 13 связанных вопросов

1. Для набора А найдите коэффициент перехода от малой рамы к большой, подтвердите обе пропорции.
2. В наборе Б проверьте обе пары соответствующих сторон и назовите общий k.
3. В наборе В совпали отношения длин. Достаточно ли этого для вывода о подобии по данному признаку? Объясните.
4. У набора Г сравните отношение первых и вторых сторон. Какую длину большой рамки надо изменить для правильного соответствия?
5. Для набора Д определите, уменьшена или увеличена рама; найдите коэффициент в обратном направлении.
6. Для набора Е ученик соединил 7 с 20 и 10 с 14. Верно ли его соответствие? Проверьте численно.
7. В наборе Ж вычислите k и отношение площадей большой рамы к малой.
8. В наборе З стороны пропорциональны. Почему это всё же не доказывает подобие по признаку «две стороны и угол»?
9. Модель А нужно выполнить в масштабе k = 2,5 от малой рамы. Какими станут две прилежащие к углу стороны?
10. В модели Б при сохранении угла и масштаба k = 2 заменили малую сторону 9 см на 11 см. Какой должна стать ей соответствующая большая сторона?
11. Для набора Д найдите во сколько раз изменится периметр при переходе от малой рамы к большой.
12. Для набора Г мастер предлагает заменить 20 см на 22 см. Будет ли соответствие сторон достаточно для подобия и почему?
13. Найдите все строки таблицы, где предложенное соответствие и включённый угол удовлетворяют признаку подобия.

Проверка разумности до сверки ключа

При коэффициенте k > 1 обе соответствующие стороны должны увеличиваться. Если одна стала больше, а другая меньше, стороны сопоставлены неверно или одинакового масштаба нет. Числа в таблице измеряют длины, а не площадь; для площади коэффициент нужно возвести в квадрат. Если углы между выбранными сторонами не равны, требуемый признак подобия отсутствует, даже когда длины выглядят согласованными.

В реальном изготовлении металлической рамки встречаются погрешности измерений. Здесь числа заданы точно; не округляйте отношения раньше времени. Работая с новыми данными, важно оставить отдельную графу для углов: пропустить её означает сделать недостаточное доказательство. Для самопроверки разберите набор Г в двух состояниях. Сначала сравните 12/6 и 20/11 — они не равны, значит по указанным соответствиям подобия нет. После корректировки одной длины до 22 см сравните обе дроби вновь: 12/6 = 22/11 = 2. При этом равенство углов 45° сохранено. Именно совокупность этих трёх условий, а не «похожесть» рисунков, позволяет применить признак. Если требуется перевести бумажную модель в масштаб реальной детали, отдельно подпишите направление перехода: k от первой ко второй и 1/k от второй к первой. Это защищает от ошибки, когда правильная дробь относится к обратному преобразованию.

Ответы и обоснования

1. 12/8 = 18/12 = 3/2, углы 60° равны; k = 1,5. Соответствие верное.
2. 18/9 = 30/15 = 2, включённые углы равны 50°; k = 2.
3. 15/10 = 21/14 = 3/2, но углы 40° и 55° различаются. По признаку двух сторон и угла между ними доказать подобие нельзя; в этой паре треугольники с такими исходными данными не подобны.
4. 12/6 = 2, а 20/11 ≠ 2. Надо заменить длину 20 см на 22 см (11 · 2), оставив угол 45°.
5. 9/12 = 12/16 = 3/4, рама уменьшена. При обратном переходе k = 4/3.
6. Нет: 20/7 ≠ 14/10. Верное соответствие дано в таблице: 7 ↔ 14 и 10 ↔ 20, k = 2.
7. 24/8 = 45/15 = 3, углы равны. k = 3; отношение площадей = 3² = 9.
8. 20/10 = 36/18 = 2, но включённые углы 55° и 50° не равны; один признак не выполняется. Сохранив пропорции сторон, нельзя произвольно изменить угол.
9. 8 · 2,5 = 20 см; 12 · 2,5 = 30 см. Угол между сторонами нужно сохранить 60°.
10. 11 · 2 = 22 см. Если прежняя другая сторона 15 см сохранена, её образ остаётся 30 см.
11. Периметры подобных треугольников соотносятся как k = 3/4: периметр второй рамы составляет 0,75 периметра первой.
12. Да. 12/6 = 22/11 = 2, включённые углы обоих треугольников 45°. Обе пропорции и угол согласованы.
13. А, Б, Д, Е, Ж. В: неравные углы; Г: неравные отношения; З: неравные углы.