Проверка соответствия сторон при известном отношении площадей — карточки с ответами, 8 класс

Ошибка, с которой начинается урок

У подобных треугольников отношение площадей 9 : 4. Ученик сразу сообщил: «отношение соответствующих сторон 9 : 4». Ошибка в том, что площади меняются как квадрат масштаба. Если S₂/S₁ = 9/4, то k = √(9/4) = 3/2. Условие о подобии обязательно: равные отношения площадей случайных фигур не устанавливают соответствие их сторон.

Вторая ловушка: правильно найдя k, ученик связывает стороны по порядку, не проверяя конкретные пары. У двух подобных треугольников вершины могли быть перечислены в другом порядке; поэтому проверяют каждую пару, а не только одну удобную длину.

Пять ошибок в записи соответствия

1. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 4. Для ABC: AB = 6, BC = 7, AC = 9 см; для DEF: DE = 14, EF = 12, DF = 18 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
2. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 9. Для ABC: AB = 7, BC = 8, AC = 10 см; для DEF: DE = 24, EF = 21, DF = 30 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
3. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 9/4. Для ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 8 см; для DEF: DE = 9, EF = 15/2, DF = 12 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
4. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 1/4. Для ABC: AB = 6, BC = 7, AC = 9 см; для DEF: DE = 7/2, EF = 3, DF = 9/2 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
5. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 16/9. Для ABC: AB = 7, BC = 8, AC = 10 см; для DEF: DE = 32/3, EF = 28/3, DF = 40/3 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.

Тренировка: отличите перестановку от правильного соответствия

1. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 25/4. Для ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 8 см; для DEF: DE = 25/2, EF = 15, DF = 20 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
2. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 4/9. Для ABC: AB = 6, BC = 7, AC = 9 см; для DEF: DE = 4, EF = 14/3, DF = 6 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
3. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 16. Для ABC: AB = 7, BC = 8, AC = 10 см; для DEF: DE = 32, EF = 28, DF = 40 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
4. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 25/9. Для ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 8 см; для DEF: DE = 25/3, EF = 10, DF = 40/3 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
5. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 9/16. Для ABC: AB = 6, BC = 7, AC = 9 см; для DEF: DE = 9/2, EF = 21/4, DF = 27/4 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
6. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 49/4. Для ABC: AB = 7, BC = 8, AC = 10 см; для DEF: DE = 28, EF = 49/2, DF = 35 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
7. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 36/25. Для ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 8 см; для DEF: DE = 6, EF = 36/5, DF = 48/5 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
8. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 64/9. Для ABC: AB = 6, BC = 7, AC = 9 см; для DEF: DE = 16, EF = 56/3, DF = 24 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
9. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 25/16. Для ABC: AB = 7, BC = 8, AC = 10 см; для DEF: DE = 10, EF = 35/4, DF = 25/2 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.
10. Треугольники подобны; S(DEF)/S(ABC) = 49/16. Для ABC: AB = 5, BC = 6, AC = 8 см; для DEF: DE = 35/4, EF = 21/2, DF = 14 см. Верна ли записанная последовательность соответствий AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF? Если нет, исправьте её.

Разбор всех случаев

1. k = √(4) = 2. Ошибка: DE/AB = 7/3, EF/BC = 12/7, а DF/AC = 2; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 2.
2. k = √(9) = 3. Ошибка: DE/AB = 24/7, EF/BC = 21/8, а DF/AC = 3; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 3.
3. k = √(9/4) = 3/2. Ошибка: DE/AB = 9/5, EF/BC = 5/4, а DF/AC = 3/2; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 3/2.
4. k = √(1/4) = 1/2. Ошибка: DE/AB = 7/12, EF/BC = 3/7, а DF/AC = 1/2; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 1/2.
5. k = √(16/9) = 4/3. Ошибка: DE/AB = 32/21, EF/BC = 7/6, а DF/AC = 4/3; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 4/3.
6. k = √(25/4) = 5/2; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 5/2. Порядок соответствий верен.
7. k = √(4/9) = 2/3; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 2/3. Порядок соответствий верен.
8. k = √(16) = 4. Ошибка: DE/AB = 32/7, EF/BC = 7/2, а DF/AC = 4; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 4.
9. k = √(25/9) = 5/3; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 5/3. Порядок соответствий верен.
10. k = √(9/16) = 3/4; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 3/4. Порядок соответствий верен.
11. k = √(49/4) = 7/2. Ошибка: DE/AB = 4, EF/BC = 49/16, а DF/AC = 7/2; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 7/2.
12. k = √(36/25) = 6/5; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 6/5. Порядок соответствий верен.
13. k = √(64/9) = 8/3; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 8/3. Порядок соответствий верен.
14. k = √(25/16) = 5/4. Ошибка: DE/AB = 10/7, EF/BC = 35/32, а DF/AC = 5/4; нужные отношения различаются. Правильно AB ↔ EF, BC ↔ DE, AC ↔ DF: все отношения равны 5/4.
15. k = √(49/16) = 7/4; DE/AB = EF/BC = DF/AC = 7/4. Порядок соответствий верен.