Проверка соответствия сторон с общим углом и параллельными отрезками — диагностика ошибок, 8 класс

Класс: 8. Навык: проверять правильность соответствующих сторон треугольников с общей вершиной и параллельным отрезком. Материал предназначен для самостоятельной работы с последующей проверкой решений, а не для механического угадывания ответа.

Содержание статьи7 разделов

Почему вершины нельзя сопоставлять наугад

Пусть D находится на луче AB между A и B, а E — на луче AC между A и C. Если DE ∥ BC, то ∠DAE = ∠BAC — общий, ∠ADE = ∠ABC и ∠AED = ∠ACB как соответствующие углы при параллельных прямых. Поэтому △ADE подобен △ABC с соответствием A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.

Три стороны располагаются в парах: AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC. Полезная проверка: сегмент, соединяющий точки D и E, лежит напротив общей вершины A, как и BC во внешнем треугольнике. Неверно связывать DE с AB только потому, что они расположены рядом на рисунке.

Формула k = AD/AB = AE/AC = DE/BC применима при описанной конфигурации. Здесь 0 < k < 1. Периметры подобных фигур относятся как k, площади — как k². Если какой-либо один показатель отличается, исследуйте ошибку в маркировке или в расчёте.

Уровень 1 — найдите соответствующую сторону (8 заданий)

  1. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 6 см, AC = 8 см, AD = 3 см, BC = 10 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  2. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 7 см, AC = 9 см, AD = 14/3 см, BC = 11 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  3. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 9 см, AC = 10 см, AD = 27/4 см, BC = 12 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  4. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 8 см, AC = 11 см, AD = 8/3 см, BC = 13 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  5. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 10 см, AC = 12 см, AD = 4 см, BC = 15 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  6. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 12 см, AC = 16 см, AD = 36/5 см, BC = 20 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  7. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 9 см, AC = 14 см, AD = 36/5 см, BC = 17 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.
  8. В △ABC точка D лежит на AB, E — на AC, DE ∥ BC. AB = 11 см, AC = 13 см, AD = 55/6 см, BC = 19 см. Определите, какой стороне соответствует DE, и найдите DE и AE.

Уровень 2 — исправьте неправильную пропорцию (8 заданий)

  1. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 6, AC = 9, BC = 12 см, AE = 9/2 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  2. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 8, AC = 10, BC = 14 см, AE = 20/3 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  3. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 10, AC = 13, BC = 18 см, AE = 39/4 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  4. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 12, AC = 15, BC = 21 см, AE = 5 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  5. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 14, AC = 16, BC = 23 см, AE = 32/5 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  6. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 15, AC = 19, BC = 25 см, AE = 57/5 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  7. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 8, AC = 12, BC = 16 см, AE = 48/5 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.
  8. В △ABC проведён DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 9, AC = 15, BC = 21 см, AE = 25/2 см. Ученик приравнял DE/AB = AE/AC. Найдите ошибочную пару, правильную DE и AD.

Уровень 3 — несколько шагов и площади (8 заданий)

  1. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 10 см, AC = 14 см, BC = 18 см, DE = 9 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  2. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 12 см, AC = 17 см, BC = 24 см, DE = 16 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  3. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 13 см, AC = 18 см, BC = 22 см, DE = 33/2 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  4. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 14 см, AC = 20 см, BC = 26 см, DE = 26/3 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  5. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 15 см, AC = 22 см, BC = 28 см, DE = 56/5 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  6. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 16 см, AC = 21 см, BC = 29 см, DE = 87/5 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  7. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 17 см, AC = 24 см, BC = 30 см, DE = 24 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.
  8. В △ABC отрезок DE ∥ BC, D ∈ AB, E ∈ AC. AB = 18 см, AC = 25 см, BC = 33 см, DE = 55/2 см. Найдите AD, AE и отношение площадей S(ADE)/S(ABC). Укажите соответствия сторон.

Ответы к уровню 1

  1. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 3/6 = 1/2; DE = 10 · 1/2 = 5 см; AE = 8 · 1/2 = 4 см.
  2. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 14/3/7 = 2/3; DE = 11 · 2/3 = 22/3 см; AE = 9 · 2/3 = 6 см.
  3. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 27/4/9 = 3/4; DE = 12 · 3/4 = 9 см; AE = 10 · 3/4 = 15/2 см.
  4. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 8/3/8 = 1/3; DE = 13 · 1/3 = 13/3 см; AE = 11 · 1/3 = 11/3 см.
  5. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 4/10 = 2/5; DE = 15 · 2/5 = 6 см; AE = 12 · 2/5 = 24/5 см.
  6. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 36/5/12 = 3/5; DE = 20 · 3/5 = 12 см; AE = 16 · 3/5 = 48/5 см.
  7. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 36/5/9 = 4/5; DE = 17 · 4/5 = 68/5 см; AE = 14 · 4/5 = 56/5 см.
  8. DE ↔ BC, AE ↔ AC, AD ↔ AB. k = AD/AB = 55/6/11 = 5/6; DE = 19 · 5/6 = 95/6 см; AE = 13 · 5/6 = 65/6 см.

Разбор неверных пропорций уровня 2

  1. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 9/2/9 = 1/2. Значит, DE = 6 см, AD = 3 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  2. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 20/3/10 = 2/3. Значит, DE = 28/3 см, AD = 16/3 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  3. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 39/4/13 = 3/4. Значит, DE = 27/2 см, AD = 15/2 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  4. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 5/15 = 1/3. Значит, DE = 7 см, AD = 4 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  5. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 32/5/16 = 2/5. Значит, DE = 46/5 см, AD = 28/5 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  6. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 57/5/19 = 3/5. Значит, DE = 15 см, AD = 9 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  7. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 48/5/12 = 4/5. Значит, DE = 64/5 см, AD = 32/5 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.
  8. Нельзя сравнивать DE и AB: соответствие DE ↔ BC. k = AE/AC = 25/2/15 = 5/6. Значит, DE = 35/2 см, AD = 15/2 см. Ошибочная запись смешивает стороны, расположенные напротив разных углов.

Полные решения уровня 3

  1. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 9/18 = 1/2. AD = AB · k = 5 см; AE = AC · k = 7 см; площади относятся как k² = 1/4. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  2. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 16/24 = 2/3. AD = AB · k = 8 см; AE = AC · k = 34/3 см; площади относятся как k² = 4/9. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  3. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 33/2/22 = 3/4. AD = AB · k = 39/4 см; AE = AC · k = 27/2 см; площади относятся как k² = 9/16. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  4. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 26/3/26 = 1/3. AD = AB · k = 14/3 см; AE = AC · k = 20/3 см; площади относятся как k² = 1/9. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  5. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 56/5/28 = 2/5. AD = AB · k = 6 см; AE = AC · k = 44/5 см; площади относятся как k² = 4/25. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  6. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 87/5/29 = 3/5. AD = AB · k = 48/5 см; AE = AC · k = 63/5 см; площади относятся как k² = 9/25. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  7. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 24/30 = 4/5. AD = AB · k = 68/5 см; AE = AC · k = 96/5 см; площади относятся как k² = 16/25. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.
  8. Из параллельности DE ↔ BC и k = DE/BC = 55/2/33 = 5/6. AD = AB · k = 15 см; AE = AC · k = 125/6 см; площади относятся как k² = 25/36. Соответствия AD ↔ AB, AE ↔ AC, DE ↔ BC.

Дополнительная проверка корректности чертежа: D и E должны лежать на соответствующих сторонах, а DE — быть параллельным BC. Если D лежит на продолжении AB за B, формула отношений с коэффициентом меньше 1 уже не описывает эту конфигурацию. Перед вычислениями прочитайте текстовое расположение точек. В задании на площадь прежде найдите масштаб линейных размеров, а только потом возведите его в квадрат.

Самопроверка. Для каждого равенства длин укажите, какие именно стороны соответствуют. Числовое совпадение без правильного соответствия и необходимого условия о равенстве углов ещё не доказывает подобие.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым