Проверка степени одночлена при подстановке отрицательных чисел — тренажёр для 7 класса

Математика, 7 класс. Рабочая карточка MATH-1286. Все задания рассчитаны на письменное выполнение; ответы и объяснения помещены в конце материала.

Принцип проверки: степень исходного одночлена и степень выражения после подстановки — разные вопросы. Например, −3x²y имеет степень 3, но после x = −2 остаётся −12y — одночлен степени 1 относительно y. Если подставлены значения всех букв, результат — число (его степень 0, если это число ненулевое). Если получен нуль, здесь его степень считаем неопределённой.

Исходная таблица: прочитайте и проверьте вычисления

Во всех шести строках вычисления заданы верно. Пересчитайте каждую строку независимо и объясните, почему при подстановке отрицательного числа знак иногда меняется, а иногда остаётся тем же. Обратите внимание на столбец со степенью после подстановки: там считают лишь оставшиеся буквы.

Задания для самостоятельной проверки

1. Для −6a²b³ при a = −1 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
2. Для 2a³b при a = −2 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
3. Для −5p²q² при q = −3 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
4. Для −2u⁵v при u = −1 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
5. Для −4x²y³ при y = −1 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
6. Для −3x³ при x = −2 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
7. Для −2xy при x = 0 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
8. Для −x⁴y² при x = −3 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
9. Для −8c³d² при d = −2 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.
10. Для −3m²n при n = −1 найдите числовой коэффициент оставшегося выражения, степень исходного одночлена и степень результата. Проверьте знак.

Поиск противоречий в рассуждениях

Ошибка А: «Подставили x = −3 в −x⁴y² и получили +81y², ведь минус на минус даёт плюс». Это неверно: (−3)⁴ = 81, но перед одночленом уже стоит отдельный минус. Итог −81y².

Ошибка Б: «Степень −2xy после x = 0 равна 1: ведь осталась буква y». Результат равен именно 0, а не выражению −2y; в принятом соглашении степень нулевого одночлена не определена.

Как читать степень при частичной подстановке

Пусть исходная буквенная часть имела вид x²y³. Её степень равна 5 независимо от коэффициента. Если подставить ненулевое значение вместо x, степень оставшегося выражения по y станет равна 3. Если затем подставить ненулевое значение вместо y, получится число степени 0. Но при подстановке нуля может получиться нулевой многочлен, и тот же вывод о степени 0 делать нельзя. Именно поэтому в таблице отдельно указаны степень до вычисления и после него.

Трудный случай: после подстановки числа получилось выражение с отрицательным коэффициентом. Например, −5p²q² при q = −3 даёт −45p², а не +45p²: квадрат отрицательного числа положителен, но исходный коэффициент −5 сохраняет свой знак. Общая степень первоначального одночлена равна 4; новая степень по p равна 2. Не следует считать −45 показателем степени или складывать его со степенью p.

Ключ: результаты новых заданий

• 1. Исходный −6a²b³, подстановка a = −1 дают −6b³. Степень исходного выражения — 5, полученного — 3.
• 2. Исходный 2a³b, подстановка a = −2 дают −16b. Степень исходного выражения — 4, полученного — 1.
• 3. Исходный −5p²q², подстановка q = −3 дают −45p². Степень исходного выражения — 4, полученного — 2.
• 4. Исходный −2u⁵v, подстановка u = −1 дают 2v. Степень исходного выражения — 6, полученного — 1.
• 5. Исходный −4x²y³, подстановка y = −1 дают 4x². Степень исходного выражения — 5, полученного — 2.
• 6. Исходный −3x³, подстановка x = −2 дают 24. Степень исходного выражения — 3, полученного — 0.
• 7. Исходный −2xy, подстановка x = 0 дают 0. Степень исходного выражения — 2, полученного — не определена.
• 8. Исходный −x⁴y², подстановка x = −3 дают −81y². Степень исходного выражения — 6, полученного — 2.
• 9. Исходный −8c³d², подстановка d = −2 дают −32c³. Степень исходного выражения — 5, полученного — 3.
• 10. Исходный −3m²n, подстановка n = −1 дают 3m². Степень исходного выражения — 3, полученного — 2.

Как не смешивать два вопроса о степени

До подстановки степень складывают по всем буквенным переменным. После подстановки на место выбранной переменной ставится число, и его степени входят уже в числовой коэффициент. Поэтому степень может уменьшиться. Если получившееся число не равно нулю и букв больше нет, речь о константе степени 0.

Проверяйте порядок вычислений: отрицательные числа обязательно заключают в скобки, затем возводят в степень и только потом умножают на коэффициент. Особенно опасна путаница −(−3)⁴ и (−(−3))⁴ — это разные записи. Для контроля хорошо устно предсказать знак результата до вычисления его модуля.