Проверка существования решения задачи без вычисления: пошаговые задания для 5 класса

Прикладной кейс, 5 класс: школьный клуб готовит наборы к мероприятию. Товары привозят только целыми закрытыми упаковками; ни одну упаковку нельзя вскрывать. Перед подробным перебором организатор хочет понять, может ли существовать решение вообще.

Исходные данные склада

Ограничения: можно купить 0, 1 или несколько упаковок, но не больше наличия на складе. Других товаров и неполных упаковок нет. В каждом вопросе заказ самостоятельный: склад не расходуется от задания к заданию. Цены указаны в тенге за упаковку, количество товара — в штуках или бутылках.

Как проверить возможность, не вычисляя все варианты

Три быстрых признака: кратность (пять карандашей продаются только пачками по пять), чётность (любая сумма из четвёрок и шестёрок будет чётной) и границы (из двух упаковок воды нельзя получить три). Если задача невозможна по признаку, не нужно исследовать цену и все сочетания. Если кажется возможной, предъяви хотя бы один состав заказа, не нарушающий запас и бюджет.

16 связанных вопросов по данным таблицы

Этап 1. Одна разновидность товара

1. Можно ли получить ровно 11 красных фишек?
2. Можно ли получить ровно 12 красных фишек?
3. Можно ли получить ровно 13 синих фишек?
4. Можно ли заказать ровно 25 карандашей?
5. Есть ли заказ ровно на 26 карандашей?
6. Можно ли получить ровно 12 значков?
7. Возможно ли получить ровно 15 значков при данном складском запасе?

Этап 2. Два цвета фишек

В следующих заданиях количество красных и синих фишек складывается. Неважно, какого цвета фишек больше; важно точное общее количество.

8. Можно ли получить ровно 17 фишек двух цветов в любом сочетании?
9. Можно ли получить ровно 10 фишек, купив как минимум по одной упаковке каждого цвета?
10. Можно ли получить ровно 6 фишек, купив как минимум по одной упаковке каждого цвета?
11. Можно ли получить ровно 20 фишек обоих цветов при имеющихся запасах?
12. Можно ли получить ровно 22 фишки при ограничении 3 красные и 2 синие упаковки?

Этап 3. Ограничение по стоимости

13. Можно ли потратить ровно 90 тг только на упаковки красных и синих фишек?
14. Можно ли потратить ровно 100 тг только на такие упаковки?

Этап 4. Единицы и запасы

15. Можно ли заказать ровно 16 бутылок воды без вскрытия упаковок?
16. Можно ли заказать ровно 17 бутылок воды без вскрытия упаковок?

Математическая модель

Пусть r — число упаковок красных фишек, b — синих. Тогда их общее количество 4r + 6b, где r и b — целые неотрицательные, 0 ≤ r ≤ 3 и 0 ≤ b ≤ 2. Стоимость такого заказа 36r + 54b тенге. Например, заявка на 17 фишек требует 4r + 6b = 17. Левая часть чётна для любых целых r и b, правая нечётна. Следовательно, решения нет без поиска всех пар.

Для карандашей число предметов равно 5p, где 0 ≤ p ≤ 6; для значков — 3z, 0 ≤ z ≤ 4; для воды — 8w, 0 ≤ w ≤ 2. Это ограничения области допустимых значений переменных: нельзя брать отрицательные, дробные или отсутствующие на складе упаковки.

Ключ: существование, свидетельство либо запрет

Проверка ответа и единиц

В пунктах 13–14 сравнивают тенге, а в пунктах 8–12 — штуки фишек; нельзя подставлять стоимость вместо количества. В пунктах 15–16 «бутылка» — единица товара, «упаковка» — целое число восьмёрок. Всякий ответ «да» выше сопровождается явным допустимым заказом, а каждый ответ «нет» — проверяемым запретом (чётность, кратность, минимальное количество или складской предел).

Короткий анализ заявок организатора

Заявка на 22 фишки особенно интересна: чётность не запрещает её, ведь 22 — чётное число. Однако этого недостаточно для существования решения. Если красных упаковок r, а синих b, то 4r + 6b = 22. При допустимых неотрицательных целых числах возможны только два состава: четыре красные и одна синяя упаковка либо одна красная и три синие. Оба способа нарушают ограничение склада. Это пример, когда признак чётности лишь проходит первую проверку, но проверка наличия товара отвергает заказ.

Заявка на 100 тг, напротив, невозможна сразу по общему делителю цен: и 36 тг, и 54 тг кратны 18 тг. Любой итог расходов на эти два вида упаковок также будет кратен 18 тг. Заявленная сумма 100 тг не становится возможной от увеличения числа упаковок: арифметическое ограничение сохраняется. Единица стоимости здесь — тенге, а не число фишек.

Если ученик нашёл один допустимый способ выполнить заявку, для доказательства существования больше ничего не нужно. Но один неудачный способ покупки не доказывает, что заказа выполнить нельзя: может существовать другое сочетание. Чтобы обосновать «нет», нужен запрет, охватывающий сразу все допустимые составы, например невозможная чётность, несоблюдение кратности или недостаточный запас.

Практический вывод: перед тем как начинать длинный перебор, ищи простой математический признак, делающий задачу невозможной. Но если признак не запрещает решение, это ещё не гарантия: для ответа «да» обязательно предъяви конкретное сочетание упаковок.