Проверка тождества рациональных выражений с учётом ОДЗ: самостоятельная работа по математике, 8 класс

Самостоятельная работа с ошибками, 8 класс. Проверка тождества рациональных выражений начинается не со сокращения, а с выяснения области допустимых значений переменной (ОДЗ). На ней допустимы сокращения ненулевых множителей; вне неё первоначальное выражение не имеет смысла.

Короткое правило: два способа проверить равенство

Способ A: привести обе части к общей дроби, упростить их разность и проверить, тождественно ли она равна нулю на общей ОДЗ. Способ B: преобразовать обе части по отдельности в одну и ту же форму без изменения исходной ОДЗ. Контрпример x=конкретное допустимое число доказывает, что тождество неверно, однако одна совпадающая подстановка никогда не доказывает тождество.

Шесть неправильных решений: найдите, что упустил ученик

1. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: (x²−9)/(x−3)=x+3 при всех x∈R. Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.
2. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: (x+2)/(x²−4)=1/(x−2); ОДЗ только x≠2. Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.
3. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: (x+1)/(x−1)=1+1/(x−1), x≠1. Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.
4. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: (x²−1)/(x²−x)=(x+1)/x; ОДЗ x≠0. Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.
5. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: 1/(x−3)+1/(3−x)=2/(x−3). Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.
6. Найдите неверное утверждение в решении ученика и исправьте его: Записано: (x²−4)/(x+2)=x−2, включая x=−2. Укажите исходную ОДЗ и решите, равенство верно на ней или нет.

Проверка 12 равенств на общей ОДЗ

7. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²+5x+6)/(x+2) = x+3. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
8. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²+5x+6)/(x+3) = x+2. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
9. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x+3)/(x²−9) = 1/(x−3). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
10. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²−6x+9)/(x−3) = x−3. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
11. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²−25)/(x−5) = x+5. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
12. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²+1)/(x+1) = x−1. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
13. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x+4)/(x−2) = 1+6/(x−2). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
14. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x+2)/(x−3) = 1+5/(x−3). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
15. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²−16)/(x²+8x+16) = (x−4)/(x+4). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
16. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство (x²−1)/(x²−x) = (x+1)/x. Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
17. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство 1/(x−1)+1/(x+1) = 2x/(x²−1). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.
18. Проверьте, верно ли на общей исходной ОДЗ равенство 1/(x−1)−1/(x+1) = 2/(x²−1). Проведите преобразование разности частей либо предъявите допустимый контрпример.

Ключ к исправлению шести ошибок

1. Исправление: Сокращение даёт x+3 только при x≠3: исходный знаменатель равен нулю при x=3. Это тождество на исходной ОДЗ, не равенство функций с одинаковой областью определения на всей R.
2. Исправление: Исходный знаменатель (x−2)(x+2): x≠2, x≠−2. В точке −2 сокращённая формула существует, но начальная дробь нет.
3. Исправление: Правильно: (x+1)/(x−1) = 1+2/(x−1), x≠1, так как x+1=(x−1)+2. Неверное выражение отличается на 1/(x−1).
4. Исправление: Разложение: (x−1)(x+1)/[x(x−1)] = (x+1)/x, но исходная ОДЗ x≠0 и x≠1. Число 1 вычеркнули ошибочно.
5. Исправление: Поскольку 3−x=−(x−3), сумма равна нулю при x≠3. Пропущен знак минус в обратном двучлене.
6. Исправление: Формула x−2 верна только при x≠−2. Подстановка x=−2 в исходное выражение даёт деление на ноль, поэтому расширять ОДЗ запрещено.

Ответы по самостоятельной работе

7. Верно на ОДЗ: x ≠ -2. x²+5x+6=(x+2)(x+3): сокращаем x+2, обязательно x≠−2. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
8. Верно на ОДЗ: x ≠ -3. x²+5x+6=(x+2)(x+3): сокращаем x+3, обязательно x≠−3. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
9. Верно на ОДЗ: x ≠ -3, x ≠ 3. x²−9=(x−3)(x+3): сокращаем x+3, но x≠−3 и x≠3. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
10. Верно на ОДЗ: x ≠ 3. x²−6x+9=(x−3)²: сокращаем один множитель x−3, но x≠3. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
11. Верно на ОДЗ: x ≠ 5. x²−25=(x−5)(x+5): сокращаем x−5 при x≠5. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
12. Не тождество. ОДЗ x ≠ -1. После приведения к общему знаменателю разность равна 2/(x+1); при x=0 левая часть 1, правая −1. Разность левой и правой частей равна 2/(x + 1), не нуль тождественно; например x=0 допустим, и равенство не выполняется.
13. Верно на ОДЗ: x ≠ 2. x+4=(x−2)+6: делим по слагаемым числителя, получаем 1+6/(x−2), x≠2. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
14. Верно на ОДЗ: x ≠ 3. x+2=(x−3)+5: получаем 1+5/(x−3), x≠3. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
15. Верно на ОДЗ: x ≠ -4. x²−16=(x−4)(x+4); x²+8x+16=(x+4)²; сокращаем только при x≠−4. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
16. Верно на ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 1. x²−1=(x−1)(x+1); x²−x=x(x−1), поэтому x≠0 и x≠1. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
17. Верно на ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 1. Приведение к знаменателю (x−1)(x+1) даёт числитель (x+1)+(x−1)=2x. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.
18. Верно на ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 1. Приведение к знаменателю (x−1)(x+1) даёт числитель (x+1)−(x−1)=2. Проверка: разность частей тождественно равна 0 на ОДЗ.

Важное различие: тождество на ОДЗ и совпадение функций

Равенство (x²−9)/(x−3)=x+3 верно для всех x, для которых исходная левая часть определена, то есть при x≠3. Однако две формулы задают функции с разными естественными областями: правая существует и при x=3. Поэтому фраза «тождество на общей ОДЗ» корректна, а «эти две функции полностью совпадают на всей числовой прямой» неверна.

При делении на выражение, содержащее x, прежде убедитесь, что оно не равно нулю. Избавившись от множителя x−1, нельзя затем считать x=1 допустимым. При проверке ложного тождества старайтесь получить разность, например ненулевую рациональную дробь; это более убедительно, чем проверить одно произвольное число.

Критерии: в заданиях 1–6 необходимо исправить именно неверный шаг; в заданиях 7–18 указать правильную ОДЗ и математическое обоснование. По 2 балла за задачу, максимальный результат 36. Если исходные знаменатели не определены, равенство в этой точке не оценивают как «верное» или «ложное»: сама подстановка недопустима.