Проверка утверждения о среднем при равных средних и разных размахах — рабочий лист для 6 класса

Два класса могут получить одинаковый средний результат, хотя в одном почти все значения близки друг к другу, а в другом встречаются очень маленькие и очень большие. В этом табличном практикуме нужно проверять утверждения, а не угадывать по одному заметному числу.

Таблица наблюдений для проверки

Все строки относятся к четырём наблюдениям. Группы с похожими буквами — это не обязательно похожие наборы. Заполните два последних столбца самостоятельно, используя данные таблицы.

Задания: прочитать, проверить, опровергнуть

1. Вычислите среднее набора А и укажите, сколько в нём наблюдений.
2. Найдите среднее набора Б. Подтвердите, что оно совпадает со средним А.
3. Вычислите размахи А и Б. У какого набора значения разбросаны шире?
4. Сравните А и В. Верно ли утверждение «если среднее одинаковое, то и размах одинаков»?
5. Проверьте заявление: «У Б среднее выше, ведь в нём встречается 19».
6. Определите среднее у Д и Е; объясните, почему для сравнения размахов сначала важно смотреть на их максимумы и минимумы.
7. Вычислите оба размаха Д и Е. На сколько единиц они различаются?
8. Проверьте, равны ли средние Ж и З. Вычислите размах каждого.
9. Есть ли размах у В? Чем отличается отсутствие разброса от нулевого среднего?
10. Замените в А числа 6 и 14 на 4 и 16. Изменится ли среднее? А размах?
11. Придумайте четыре неотрицательных числа со средним 10 и размахом 20; приведите один пример.
12. У нового набора 6, 7, 8, 19 среднее равно 10. Сравните его размах с размахом Г.
13. Какой из наборов А, Б, В, Г, И, К имеет наибольший размах? Проверьте все варианты.
14. Сложите расстояния каждого числа от среднего 10 в наборах А и Б. Будут ли суммы одинаковы?
15. У И и К одинаковая сумма. Следует ли отсюда одинаковый размах? Докажите вычислением.
16. Можно ли построить набор со средним 10, но размахом меньше, чем у В? Обоснуйте.

Ключ с вычислениями к 16 заданиям

1. А: (6 + 8 + 12 + 14) : 4 = 40 : 4 = 10; наблюдений четыре.
2. Б: (1 + 9 + 11 + 19) : 4 = 40 : 4 = 10; у А также 10.
3. Размах А: 14 − 6 = 8; Б: 19 − 1 = 18. У Б он больше на 10.
4. У В все четыре значения равны 10, среднее 10, размах 10 − 10 = 0. Средние А и В равны, размахи 8 и 0 различаются. Утверждение ложно.
5. Неверно: среднее зависит от суммы всех значений и их числа. У Б сумма 40 и среднее 10, как у А.
6. Д: 80 : 4 = 20; Е: 80 : 4 = 20. Размах определяется только двумя крайними наблюдениями, а не средним.
7. Д: 25 − 15 = 10; Е: 32 − 8 = 24. Разница размахов 14.
8. Ж: 28 : 4 = 7, размах 10 − 4 = 6. З: 28 : 4 = 7, размах 14 − 0 = 14.
9. У В размах равен 0, но среднее равно 10. Нулевой размах означает одинаковые значения, не обязательно нулевые.
10. Новый набор 4, 8, 12, 16: сумма по-прежнему 40, среднее 10, размах 16 − 4 = 12; раньше был 8.
11. Подходит 0, 10, 10, 20: сумма 40, среднее 10, размах 20 − 0 = 20.
12. Сумма 40, среднее действительно 10. Размах 19 − 6 = 13, у Г размах 18 − 2 = 16. Новый меньше на 3.
13. А: 8, Б: 18, В: 0, Г: 16, И: 6, К: 14. Наибольший размах 18 (Б).
14. А: |6 − 10| + |8 − 10| + |12 − 10| + |14 − 10| = 4 + 2 + 2 + 4 = 12. Б: 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
15. И: 40 : 4 = 10; размах 13 − 7 = 6. К: 40 : 4 = 10; размах 17 − 3 = 14. Одинаковая сумма при одинаковом количестве наблюдений даёт одинаковое среднее, но не одинаковый размах.
16. Нет: у В размах 0, а размах не бывает отрицательным, потому что максимум не меньше минимума.

Как заметить неверное рассуждение

Фраза «19 больше 14, значит среднее Б обязательно выше» неверна: у набора Б есть также 1. Одно крайнее число не определяет среднее. Аналогично размах нельзя вычислить делением суммы на четыре — для него нужны только максимум и минимум.

Для учителя: предложите ученику выбрать две строки с одинаковым средним и разными размахами, а затем объяснить различие без формулы. Варианты ответа: у одного ряда значения сосредоточены близко к среднему; у другого они заметно сильнее расходятся.