Проверка вероятностного прогноза для случайного выбора жетона — рабочий лист для 7 класса

7 класс · Частоты и вероятности · MATH-1386. Один связанный рабочий лист: оцените прогноз для случайного выбора жетона из непрозрачного мешка. Считайте, что все жетоны различимы и при каждом извлечении одинаково доступны; жетон возвращают и перемешивают перед следующим опытом.

Ситуация: школьная выставка и призовые жетоны

В мешке находятся 7 красных, 5 синих и 3 зелёных жетона — всего 15. Цвет считают результатом одного опыта, затем жетон возвращают в мешок. Класс заранее предсказал вероятности 7/15, 5/15 и 3/15. Ученики зарегистрировали две серии выборов и хотят понять, насколько наблюдения близки к модели.

Для сравнения применяйте формулу ожидаемого числа: E=n·(количество жетонов данного цвета / общее количество жетонов). При n=60 ожидаем 28 красных, 20 синих, 12 зелёных. Наблюдаемые значения могут отличаться, даже если мешок устроен именно так.

Вопросы по данным

Задания 1–4 проверяют исходную модель, 5–8 — отдельные серии, 9–12 — объединение результатов. Последний пункт переносит метод на новую серию и требует словесного объяснения.

1. Сколько всего жетонов и какова вероятность выбрать красный?
2. Найдите вероятности выбора синего и зелёного и убедитесь, что сумма трёх вероятностей равна 1.
3. Сколько красных жетонов ожидалось бы в 60 выборках с возвращением?
4. На сколько наблюдений результат 25 красных в серии А отличается от прогноза?
5. Какова относительная частота синего жетона в серии А?
6. У какого цвета в серии А наблюдаемая частота точно равна ожидаемому числу?
7. Сколько зелёных жетонов ожидалось бы в серии Б из 90 выборов?
8. В серии Б красных наблюдалось 43 раза. Сравните это с прогнозом для красного.

Вопросы с переносом метода

9. Найдите общий размер двух серий и число красных жетонов в сумме.
10. Чему равна общая относительная частота синих жетонов в объединённых данных?
11. Сравните прогнозируемое и наблюдённое количество зелёных в двух сериях вместе.
12. Другой ученик сложил доли красных 25/60 и 43/90. Верна ли такая «общая частота»?
13. Для дополнительной серии из 30 выборов сколько красных прогнозируется в среднем и почему не гарантировано именно это число?

Подробные решения и проверка разумности

1. 15 жетонов; P(красного)=7/15. Все жетоны считаются равновозможными.
2. Синий: 5/15=1/3, зелёный: 3/15=1/5. Проверка: 7/15+5/15+3/15=1.
3. 60·7/15=28 ожидаемых красных.
4. 25−28=−3: наблюдали на три красных меньше, чем прогнозировалось.
5. 23/60, то есть 38 1/3%; прогноз был 5/15=1/3, или 33 1/3%. Разница пять процентных пунктов.
6. Зелёного: 60·3/15=12, наблюдали тоже 12.
7. 90·3/15=18; наблюдали 19, на один больше ожидаемого.
8. 90·7/15=42; наблюдали 43, отклонение +1, а не ошибка подсчёта.
9. 60+90=150 опытов; 25+43=68 красных.
10. 23+28=51 синий из 150; общая частота 51/150=17/50=34%.
11. Ожидалось 150·3/15=30 зелёных, наблюдалось 12+19=31; отклонение +1.
12. Нет. Нужно сложить количества и объёмы: (25+43)/(60+90)=68/150=34/75. Сумма дробей может быть больше 1 и не является общей частотой.
13. 30·7/15=14 красных в среднем. Каждый выбор случаен, поэтому в конкретной серии может быть другое целое число.

Почему реальное число жетонов нельзя путать с размером выборки

В мешке 15 жетонов, но в первом опыте их выбирали 60 раз с возвращением. Поэтому объём выборки равен 60, а не 15. Вероятность красного определяется составом мешка и равна 7/15, а наблюдаемая частота в серии А равна 25/60. В этих дробях знаменатели имеют разный смысл. Если жетоны не возвращать, состав мешка менялся бы, и вычисления для последующих вытаскиваний требовали бы другой модели.

Можно ли на основании отклонения в одну или три попытки заключить, что мешок составлен неправильно? Нет. На уровне 7 класса достаточно корректно сравнить модельные и фактические количества, назвать разницу и объяснить случайную изменчивость. Нельзя утверждать, что все будущие серии обязательно повторят полученные 34% синих.

Для проверки дома

Закройте блок решений. Возьмите два результата из таблицы и пересчитайте общий объём через сумму цветовых частот: 68+51+31=150. Затем независимо найдите 60+90=150. Совпадение этих двух способов подтверждает согласованность исходных данных; расхождение означало бы ошибку учёта, а не необычную вероятность.

Разбор контрольного примера — две серии с разными объёмами

На первый взгляд в серии Б красных больше: 43 против 25. Но это не означает, что красный стал чаще выпадать в отдельном выборе. Объёмы различаются: в серии А относительная частота 25/60=5/12, а в серии Б — 43/90. Сравним с общей модельной вероятностью 7/15. Разность для серии А: 5/12−7/15=(25−28)/60=−1/20. Для серии Б: 43/90−7/15=(43−42)/90=1/90. Таким образом, во второй серии абсолютное количество больше, а по относительной частоте её отклонение от модели меньше.

Полезно ещё раз проверить цветовые суммы для каждой серии отдельно. Для А: 25+23+12=60. Для Б: 43+28+19=90. Если ученик по ошибке разделит число синих из серии А на 90, результат окажется не относящимся ни к одной правильной серии. Знаменатель выбирают по конкретной группе наблюдений, а не по любому числу из таблицы. Доли разных цветов в пределах одной серии обязаны суммироваться до 100%.

Что произойдёт, если изменится условие опыта

Допустим, организаторы заменили два зелёных жетона на два синих, оставив всего 15 предметов. Тогда состав станет 7 красных, 7 синих и 1 зелёный, и модельные вероятности изменятся до 7/15, 7/15 и 1/15. Для новой серии из 60 выборов ожидали бы 28, 28 и 4 наступления соответственно. Это новая модель, её нельзя задним числом применять к старым наблюдениям 25, 23 и 12.

Представим другой эксперимент: учитель больше не возвращает жетон после выбора. После вытаскивания зелёного жетона в мешке остаются 7 красных, 5 синих и 2 зелёных. Вероятность красного на следующем ходе уже 7/14=1/2, тогда как до первого выбора была 7/15. Поэтому оценка по одной постоянной вероятности подходит лишь при возвращении и перемешивании; условия испытаний нужно прочитать до вычислений.

Как оценивать объяснения

За каждое задание можно дать балл за вычисление и дополнительный балл за объяснение, если оно прямо требуется в вопросе. Особенно внимательно проверяйте задания 5, 10 и 12: здесь нужно правильно выбрать знаменатель 60 или 150. В вопросе 13 число 14 — ожидаемый результат, а не точный закон для каждой последовательности из 30 опытов. Ответ «обязательно 14» неверен по смыслу, даже если умножение выполнено без ошибки.