Проверка вероятностного прогноза для таблицы с неполным итогом — упражнения разной сложности, 7 класс

Три вопроса перед работой

1. Контроль 1. Из 75 испытаний 20 дали исход А, 18 — Б, 24 — В, 13 — Г. Верна ли сумма частот?
2. Контроль 2. Если А встретился 20 раз из 75, равна ли его относительная частота 20%?
3. Контроль 3. Для 150 будущих испытаний прогнозируют 40 исходов А по частоте 20/75. Это точное обещание или математическое ожидание?

Исходы А, Б, В и Г взаимоисключающие и вместе охватывают каждое испытание. Относительную частоту события вычисляют по полному числу испытаний. Если одна абсолютная частота скрыта, её надо найти до построения прогноза. В отличие от заполнения таблицы, прогноз на будущие случайные испытания не обязан сбываться поштучно.

Неполная таблица результатов

Самостоятельная серия: 9 заданий

1. В рабочем отчёте частота А скрыта: Б=18, В=24, Г=13, итог=75. Найдите пропуск.
2. Найдите эмпирические доли Б и В в процентах.
3. Найдите точную долю Г и округлите до десятых процента.
4. Сколько исходов А ожидается в 150 будущих опытах, если принять его частоту за вероятностную оценку?
5. Сколько исходов Б и В в среднем ожидается в 150 будущих опытах по этой же оценке?
6. Сколько исходов Г в среднем ожидается в 150 будущих опытах по этой же оценке?
7. Проверьте сумму четырёх ожидаемых количеств исходов.
8. Ученик заявил, что исход В точно встретится 48 раз в следующих 150 испытаниях. Укажите ошибку.
9. Чем отличается проверка заполнения таблицы (суммы 75 и 150) от проверки качества вероятностного прогноза?

Краткий ключ — 12 ответов

1. Да: 20+18+24+13=75.
2. Нет: 20/75=4/15≈26,7%, а не 20%.
3. Ожидание. Реальный результат 150 новых испытаний может отличаться от 40.
4. 75−18−24−13=20.
5. Б: 18/75=24%; В: 24/75=32%.
6. 13/75≈17,3%.
7. 150×(20/75)=40.
8. Б: 150×18/75=36; В: 150×24/75=48.
9. 150×13/75=26.
10. 40+36+48+26=150. Это проверка арифметической согласованности прогноза.
11. Ошибка: 48 — ожидаемое среднее число исходов В, а не гарантированный результат.
12. Суммы доказывают только согласованность вычислений; качество прогноза можно обсуждать после новых наблюдений, сопоставив их частоты с оценками. Даже несовпадение не обязательно опровергает вероятностную модель.

Итоговый прогноз по прежней эмпирической таблице на 150 испытаний: А — 40, Б — 36, В — 48, Г — 26 в среднем. Числа получились целыми, потому что новый объём вдвое больше старого; это не означает, что прогноз гарантирован. Чтобы проверить качество прогноза после испытаний, сопоставьте будущие относительные частоты с прежними долями, а не требуйте точного совпадения отдельных счётчиков.

Самопроверка: полный итог таблицы — 75, полный прогноз — 150. Сумма долей до округления — 1. Для доверия прогнозу необходимо больше, чем один арифметически верный столбец: нужны новые испытания и понимание случайных отклонений.

Как читать результат диагностики

Ошибки в первых трёх вопросах означают разные пробелы: неверная сумма частот, путаница между счётчиком и процентом либо ожидание точного будущего результата. После проверки девяти заданий полезно исправить именно причину ошибки. Если все ответы получились верными, попробуйте самостоятельно заменить общий итог 75 на другой согласованный объём и пересчитать прогноз: так станет ясно, какую роль играет знаменатель в выражении «абсолютная частота / число испытаний».