Проверка выбранных промежутков для параболы без нулей — проверочная работа по математике, 9 класс

Мини-тест по математике, 9 класс. Проверьте выбранные промежутки решения квадратных неравенств, если парабола не имеет действительных нулей. Для формы f(x)=a(x−h)²+c при a и c одного строгого знака f(x) никогда не обращается в ноль. Запишите, почему ответ «вся ось» или «пусто», а не механически выбирайте левый либо правый луч.

Порядок выполнения: на каждый вопрос отведите короткое объяснение; там, где приведён ответ ученика, отметьте «верно» или «неверно» и исправьте. Вопросы намеренно чередуют положительные и отрицательные параболы, строгие и нестрогие знаки. Никакие найденные интервалы нельзя подтверждать лишь одной пробной точкой.

Двенадцать коротких вопросов

Задание 1. Для f(x)=2(x−(3))² + (1) рассмотрите f(x) > 0. Выбранный ответ: ℝ. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 2. Для f(x)=-1(x−(-2))² + (-4) рассмотрите f(x) ≥ 0. Выбранный ответ: ∅. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 3. Для f(x)=3(x−(0))² + (2) рассмотрите f(x) ≤ 0. Выбранный ответ: {0}. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 4. Для f(x)=-2(x−(4))² + (-1) рассмотрите f(x) < 0. Выбранный ответ: ℝ. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 5. Для f(x)=1(x−(-5))² + (6) рассмотрите f(x) ≥ 0. Выбранный ответ: (−∞; −5) ∪ (−5; +∞). Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 6. Для f(x)=-3(x−(2))² + (-2) рассмотрите f(x) > 0. Выбранный ответ: ∅. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 7. Для f(x)=5(x−(1))² + (1) рассмотрите f(x) < 0. Выбранный ответ: ∅. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 8. Для f(x)=-1(x−(-6))² + (-3) рассмотрите f(x) ≤ 0. Выбранный ответ: ℝ. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 9. Для f(x)=2(x−(7))² + (4) рассмотрите f(x) > 0. Выбранный ответ: (7; +∞). Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 10. Для f(x)=-4(x−(0))² + (-7) рассмотрите f(x) ≥ 0. Выбранный ответ: ∅. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 11. Для f(x)=1(x−(4))² + (3) рассмотрите f(x) ≤ 0. Выбранный ответ: ∅. Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Задание 12. Для f(x)=-2(x−(-3))² + (-5) рассмотрите f(x) < 0. Выбранный ответ: (−∞; +∞). Верно ли решение? Если нет — исправьте и обоснуйте знаком функции.

Баллы и критерии. За каждый правильный вердикт — 1 балл, за математическое обоснование — ещё 1 балл. Всего 24 балла. 22–24 балла — уверенное владение темой; 17–21 — повторите нестрогие знаки; 12–16 — перепроверьте знак старшего коэффициента; меньше 12 — повторите связь дискриминанта и знака параболы.

Разбор и проверка каждого ответа

1. f(x) ≥ 1; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство >0 имеет решение ℝ. Запись ученика верна.

2. f(x) ≤ -4; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство ≥0 имеет решение ∅. Запись ученика верна.

3. f(x) ≥ 2; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство ≤0 имеет решение ∅. Запись ученика ошибочна: выбранные промежутки не покрывают точное множество решений.

4. f(x) ≤ -1; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство <0 имеет решение ℝ. Запись ученика верна.

5. f(x) ≥ 6; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство ≥0 имеет решение ℝ. Запись ученика ошибочна: выбранные промежутки не покрывают точное множество решений.

6. f(x) ≤ -2; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство >0 имеет решение ∅. Запись ученика верна.

7. f(x) ≥ 1; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство <0 имеет решение ∅. Запись ученика верна.

8. f(x) ≤ -3; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство ≤0 имеет решение ℝ. Запись ученика верна.

9. f(x) ≥ 4; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство >0 имеет решение ℝ. Запись ученика ошибочна: выбранные промежутки не покрывают точное множество решений.

10. f(x) ≤ -7; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство ≥0 имеет решение ∅. Запись ученика верна.

11. f(x) ≥ 3; знак всегда плюс, действительных нулей нет. Неравенство ≤0 имеет решение ∅. Запись ученика верна.

12. f(x) ≤ -5; знак всегда минус, действительных нулей нет. Неравенство <0 имеет решение ℝ. Запись ученика верна.

Почему кажущиеся исключения не работают

Когда f(x) > 0 для всех x, ответом нельзя записывать лишь (h;+∞) или ℝ без точки h: в вершине минимальное положительное значение c, а не ноль. Аналогично для отрицательной параболы максимальное значение c остаётся отрицательным. Поэтому исключать вершину из решения строгого неравенства здесь неверно.

Сравните f(x)=(x−3)²+1 без нулей и g(x)=(x−3)² с двойным нулём. Для первой f>0 на ℝ; для второй g>0, кроме точки 3. Не пропускайте этот важный случай.

Для проверки назовите знаки a и c, значение в вершине; выберите ℝ или ∅. Основание — неотрицательность квадрата и ненулевой остаток c.