Проверка знака тригонометрической величины при одинаковом отношении синусов — задачи с решениями для 9 класса

Математика · 9 класс · Карточка MATH-1661

Цель: отличать равенство отношений синусов от равенства самих углов, правильно определять знаки косинуса и тангенса в допустимом треугольнике.

Содержание статьи4 раздела

Подозрительное утверждение

«Если у двух треугольников одинаково отношение sin A к sin B, значит знаки всех тригонометрических величин у угла A одинаковы». Это ошибка. Внутренний угол треугольника лежит строго между 0° и 180°: синус положителен на всём этом интервале, а косинус меняет знак после 90°. Поэтому знак tg A = sin A / cos A определяется также знаком косинуса; при 90° тангенс не определён.

В теореме синусов a/sin A = b/sin B, где a и b — стороны напротив соответствующих углов. Из равенства sin A/sin B нельзя автоматически заключить, что одинаковы сами углы A и B. Особенно важно проверить, может ли вообще существовать треугольник: сумма любых двух внутренних углов должна быть меньше 180°.

Таблица двух возможных треугольников

В каждом ряду сравниваются две разные геометрические ситуации. В обоих треугольниках угол B один и тот же, а углы A дополняют друг друга до 180°. Прочитайте данные, проверьте их на непротиворечивость, решите задания 1–8: совпадают ли отношения синусов и что происходит со знаками косинуса и тангенса A?

№ Треугольник I Треугольник II Что нужно установить
1 A=40°, B=20° A=140°, B=20° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
2 A=50°, B=25° A=130°, B=25° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
3 A=60°, B=30° A=120°, B=30° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
4 A=70°, B=35° A=110°, B=35° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
5 A=75°, B=45° A=105°, B=45° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
6 A=80°, B=55° A=100°, B=55° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
7 A=45°, B=30° A=135°, B=30° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A
8 A=30°, B=15° A=150°, B=15° Сравнить sin A/sin B; знаки cos A, tg A

Подсказка к первому ряду: sin 40° = sin 140°. Но cos 40° положителен, а cos 140° отрицателен. Для тангенса используется частное sin/cos, поэтому его знак тоже меняется. Третий угол в левом треугольнике 120°, в правом 20°; оба допустимы.

Задачи 9–16: поиск противоречия и доказательство

  1. 9. В треугольниках углы A равны 60° и 120°, а B=30° в обоих. Может ли соотношение a/b по теореме синусов совпадать?
  2. 10. Известно sin A=1/2, A — угол треугольника. Назовите возможные A и знаки cos A.
  3. 11. В треугольнике A=135°, B=30°. Верно ли утверждение «tg A=1, потому что sin A положителен»?
  4. 12. При A=90°, B=35° сравните знаки sin A, cos A, tg A и ctg A.
  5. 13. Углы A=155° и B=35° заданы одновременно. Может ли существовать такой треугольник?
  6. 14. В треугольнике A=110°, B=40°. Определите знак cos C для третьего угла.
  7. 15. У пары углов 25° и 155° синусы одинаковы. Почему равенство синусов не доказывает равенства углов?
  8. 16. В треугольнике A=120°, B=20° и a/b=sin120°/sin20°. Укажите знак tg C и проверьте возможность треугольника.

Ответы и обоснования

  1. 1. Отношения синусов равны, так как sin 40° = sin 140°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  2. 2. Отношения синусов равны, так как sin 50° = sin 130°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  3. 3. Отношения синусов равны, так как sin 60° = sin 120°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  4. 4. Отношения синусов равны, так как sin 70° = sin 110°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  5. 5. Отношения синусов равны, так как sin 75° = sin 105°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  6. 6. Отношения синусов равны, так как sin 80° = sin 100°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  7. 7. Отношения синусов равны, так как sin 45° = sin 135°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  8. 8. Отношения синусов равны, так как sin 30° = sin 150°. В левом треугольнике cos A > 0 и tg A > 0; в правом cos A < 0 и tg A < 0. Оба треугольника существуют: суммы заданных углов меньше 180°.
  9. 9. Да: a/b = sin A/sin B = √3 в обоих случаях. При A=120° cos A и tg A отрицательны, хотя отношение сторон то же.
  10. 10. A=30° или 150°. cos 30° положителен, cos 150° отрицателен. Оба возможны, если оставшиеся углы имеют положительную сумму, дополняющую до 180°.
  11. 11. Неверно: tg 135° = −1. Знак синуса сам по себе не определяет знак тангенса.
  12. 12. sin A=1, cos A=0, ctg A=0, а tg A не существует из-за деления на ноль. Это особый случай, не «нулевой тангенс».
  13. 13. Нет: 155°+35°=190° &gt; 180°. Нельзя применять теорему синусов к несуществующему треугольнику.
  14. 14. C=30°, потому cos C &gt; 0. Для самого A косинус отрицателен.
  15. 15. Для углов от 0° до 180° синус совпадает у дополнительных до 180° углов: sin(180°−x)=sin x. Косинусы у них противоположных знаков.
  16. 16. C=40°, tg C &gt; 0. Сумма 120°+20°+40°=180°; у A тангенс отрицателен.

Итог для самопроверки. Внутри треугольника sin A > 0; cos A > 0 при A < 90°, равен нулю при A=90° и отрицателен при A > 90°. Сначала проверьте сумму углов, затем выбирайте знак и только после этого подставляйте числа. Если угол тупой, равенство синусов с острым углом не означает равенства косинусов.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым