Проверочная работа: геометрическая прогрессия с отрицательным знаменателем — 9 класс

Эта проверочная работа посвящена отрицательному знаменателю геометрической прогрессии. Здесь важны не только числа, но и объяснение знаков: если q < 0, соседние ненулевые члены имеют противоположные знаки. Ученик сначала исправляет ошибочные рассуждения, затем дописывает последовательности и выполняет чистовую самостоятельную. Все задания с q, отличным от нуля.

Разобранная ловушка: степень и знак

Пусть b₁ = 2, q = −3. Тогда b₂ = −6, b₃ = 18, b₄ = −54. При вычислении b₄ показатель в формуле равен 3, то есть (−3)³ = −27, а не 27. Ошибка «отрицательное число в любой степени положительно» приводит к неверному результату. При чётной степени отрицательное основание даёт положительное число, при нечётной — отрицательное.

Уровень 1. Найдите и исправьте неверное рассуждение

В каждом пункте дано ложное утверждение. Запишите верное значение bₙ и одно предложение, которое объясняет изменение знака или модуля. Слова «потому что по формуле» недостаточно: укажите конкретно знак степени и номер перехода.

1. b₁ = 3, q = −2; требуется b₄. Ошибка ученика: «неправильно считать b₄ положительным, потому что в записи есть степень 3». Исправьте результат и поясните.
2. b₁ = 5, q = −3; требуется b₃. Ошибка ученика: «неправильно считать каждый следующий член положительным после первого». Исправьте результат и поясните.
3. b₁ = −4, q = −2; требуется b₄. Ошибка ученика: «неправильно считать b₄ отрицательным только из-за отрицательного b₁». Исправьте результат и поясните.
4. b₁ = 16, q = −1/2; требуется b₅. Ошибка ученика: «неправильно считать |b₅| больше |b₁|». Исправьте результат и поясните.

Уровень 2. Заполните пропуски в последовательности

Выпишите подряд первые n членов, а затем обведите последний. Указывайте знак перед каждым новым значением. При дробном отрицательном множителе модули уменьшаются; смена знака при этом сохраняется.

5. Дано b₁ = 2, q = −2. Продолжите цепочку до b₆: 2, ____, ____, …
6. Дано b₁ = −3, q = −3. Продолжите цепочку до b₅: −3, ____, ____, …
7. Дано b₁ = 64, q = −1/2. Продолжите цепочку до b₅: 64, ____, ____, …
8. Дано b₁ = −2, q = −4. Продолжите цепочку до b₄: −2, ____, ____, …

Уровень 3. Чистовая карточка

Без подсказок вычислите обозначенный член, запишите знак и сравните модули первого и найденного членов. Не забудьте, что в bₙ входит степень n−1, а не n. Время на четыре задания — около семи минут.

9. b₁ = 7, q = −2, n = 5. Найдите b₅; укажите его знак и сравните |b₅| с |b₁|.
10. b₁ = 3, q = −3, n = 4. Найдите b₄; укажите его знак и сравните |b₄| с |b₁|.
11. b₁ = 81, q = −1/3, n = 5. Найдите b₅; укажите его знак и сравните |b₅| с |b₁|.
12. b₁ = −5, q = −2, n = 6. Найдите b₆; укажите его знак и сравните |b₆| с |b₁|.

Ключ с исправлениями

1. b₄ = −24, поскольку b₁ · q³ = 3 · (−2)³. Степень q нечётная, знак множителя отрицательный. Вывод об ошибке: неправильно считать b₄ положительным, потому что в записи есть степень 3.
2. b₃ = 45, поскольку b₁ · q² = 5 · (−3)². Степень q чётная, знак множителя положительный. Вывод об ошибке: неправильно считать каждый следующий член положительным после первого.
3. b₄ = 32, поскольку b₁ · q³ = −4 · (−2)³. Степень q нечётная, знак множителя отрицательный. Вывод об ошибке: неправильно считать b₄ отрицательным только из-за отрицательного b₁.
4. b₅ = 1, поскольку b₁ · q⁴ = 16 · (−1/2)⁴. Степень q чётная, знак множителя положительный. Вывод об ошибке: неправильно считать |b₅| больше |b₁|.
5. Правильная последовательность: 2, −4, 8, −16, 32, −64. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на −2.
6. Правильная последовательность: −3, 9, −27, 81, −243. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на −3.
7. Правильная последовательность: 64, −32, 16, −8, 4. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на −1/2.
8. Правильная последовательность: −2, 8, −32, 128. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на −4.
9. b₅ = 7 · (−2)⁴ = 112. Знак положительный; модуль последнего члена больше модуля первого.
10. b₄ = 3 · (−3)³ = −81. Знак отрицательный; модуль последнего члена больше модуля первого.
11. b₅ = 81 · (−1/3)⁴ = 1. Знак положительный; модуль последнего члена меньше модуля первого.
12. b₆ = −5 · (−2)⁵ = 160. Знак положительный; модуль последнего члена больше модуля первого.

Критерии самопроверки: в номерах 1–4 балл за результат и балл за исправленное рассуждение; в 5–8 — балл за все знаки и балл за числа; в 9–12 — балл за числовой ответ и балл за сравнение модулей. Всего 24 балла. Если ошибка только в знаке, вернитесь к таблице чётности степени; если неверны и модули, проверьте, сколько умножений сделано от b₁ до bₙ.