Рабочий лист: посторонние корни рационального уравнения — математика, 8 класс

Математика · 8 класс. Рабочий лист по проверке посторонних корней. 16 коротких заданий: сначала исследуем ограничения, затем преобразуем рациональные уравнения и возвращаемся к исходной записи. Имя: __________________________ Дата: ______________

Перед началом: почему нельзя сразу зачеркнуть знаменатель

Равенство с дробями требует двух разных действий: найти допустимые значения и решить получившееся уравнение. Если знаменатель равен нулю, исходная дробь не имеет смысла. При умножении обеих частей на выражение с переменной может возникнуть значение, которое формально удовлетворяет новому уравнению, но запрещено первоначальным. Это и есть посторонний корень. В каждом ответе записывайте ОДЗ — допустимые значения переменной.

Образец: (x² − 25)/(x − 5) = 10, где x ≠ 5. После разложения числителя получается x + 5 = 10, откуда x = 5. Проверка ОДЗ показывает: x = 5 запрещён, поэтому у исходного уравнения нет решений. Отсутствие решений не означает ошибку вычисления.

Быстрый старт — «запрещено или разрешено?»

1. Укажите значения x, при которых дробь со знаменателем x − 4 не определена. Ответ/ход: ______________________________________

2. Укажите значения x, при которых дробь со знаменателем x + 7 не определена. Ответ/ход: ______________________________________

3. Укажите значения x, при которых дробь со знаменателем 2x − 6 не определена. Ответ/ход: ______________________________________

4. Укажите значения x, при которых дробь со знаменателем x(x − 2) не определена. Ответ/ход: ______________________________________

Преобразования: сначала ОДЗ, затем проверка

5. Решите (x² − 4)/(x − 2) = 4. Обязательно отметьте исключённое значение. Ответ/ход: ______________________________________

6. Решите (x² − 9)/(x − 3) = 6. Обязательно отметьте исключённое значение. Ответ/ход: ______________________________________

7. Решите (x² − 16)/(x − 4) = 8. Обязательно отметьте исключённое значение. Ответ/ход: ______________________________________

8. Решите (x² − 36)/(x − 6) = 12. Обязательно отметьте исключённое значение. Ответ/ход: ______________________________________

9. Решите (x² − 9)/(x − 3) = 8. Ответ/ход: ______________________________________

10. Решите (x² − 16)/(x − 4) = 11. Ответ/ход: ______________________________________

11. Решите (x² − 36)/(x − 6) = 8. Ответ/ход: ______________________________________

12. Решите (x² − 25)/(x − 5) = 14. Ответ/ход: ______________________________________

Уровень выше: не путайте тождество и уравнение

13. Решите (x − 8)/(x − 8) = 1. Ответ/ход: ______________________________________

14. Решите (x − 8)/(x − 8) = 0. Ответ/ход: ______________________________________

15. Решите (x − 2)/(x − 5) = 0. Ответ/ход: ______________________________________

16. Дежурный по лаборатории получил уравнение (x² − 16)/(x − 4) = 8 и записал «x = 4». Найдите ошибку и исправьте итог. Ответ/ход: ______________________________________

Важная проверка. Если после сокращения дроби получается x + 4, это равенство значений только при x ≠ 4. Условие на переменную нельзя отменить вместе со знаменателем.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. Исключить x = 4. — Знаменатель дроби обязан быть ненулевым. Сначала решаем уравнение «знаменатель = 0».

2. Исключить x = −7. — Знаменатель дроби обязан быть ненулевым. Сначала решаем уравнение «знаменатель = 0».

3. Исключить x = 3. — Знаменатель дроби обязан быть ненулевым. Сначала решаем уравнение «знаменатель = 0».

4. Исключить x = 0; 2. — Знаменатель дроби обязан быть ненулевым. Сначала решаем уравнение «знаменатель = 0».

5. Решений нет. — ОДЗ: x ≠ 2. При x ≠ 2 левая часть равна x + 2, отсюда x = 2; оно запрещено.

6. Решений нет. — ОДЗ: x ≠ 3. При x ≠ 3 левая часть равна x + 3, отсюда x = 3; оно запрещено.

7. Решений нет. — ОДЗ: x ≠ 4. При x ≠ 4 левая часть равна x + 4, отсюда x = 4; оно запрещено.

8. Решений нет. — ОДЗ: x ≠ 6. При x ≠ 6 левая часть равна x + 6, отсюда x = 6; оно запрещено.

9. x = 5. — ОДЗ: x ≠ 3; по формуле разности квадратов x + 3 = 8, поэтому x = 5. Проверка: 5 ≠ 3.

10. x = 7. — ОДЗ: x ≠ 4; по формуле разности квадратов x + 4 = 11, поэтому x = 7. Проверка: 7 ≠ 4.

11. x = 2. — ОДЗ: x ≠ 6; по формуле разности квадратов x + 6 = 8, поэтому x = 2. Проверка: 2 ≠ 6.

12. x = 9. — ОДЗ: x ≠ 5; по формуле разности квадратов x + 5 = 14, поэтому x = 9. Проверка: 9 ≠ 5.

13. Все действительные x, кроме 8. — Для x ≠ 8 левая часть тождественно равна 1. Значение 8 не допускается.

14. Решений нет. — При x ≠ 8 левая часть равна 1, а при x = 8 дробь не существует.

15. x = 2. — Дробь равна нулю при нулевом числителе и ненулевом знаменателе: x ≠ 5.

16. Ответ: решений нет. — При x = 4 знаменатель обращается в нуль. Упрощённое уравнение x + 4 = 8 даёт только посторонний корень.

Как проверить себя

У каждого решения должно быть три этапа: (1) исключённые значения, (2) вычисление кандидата, (3) подстановка в ограничение. За верное уравнение без учёта ОДЗ балл не является полным. Если в ответе «решений нет», объясните именно почему.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.