Рабочий лист: производная частного двух функций — математика, 11 класс

Рабочий лист · 11 класс · 14 заданий. Это две независимые серии на правило производной частного. Выполняйте задания на отдельном листе: в каждом решении сначала выпишите знаменатель и его ограничения, затем обозначьте u(x) — числитель, v(x) — знаменатель. Если знаменатель обращается в нуль, значение исходной функции и её производной в этой точке не определено.

Содержание статьи5 разделов

Опорная формула и один разобранный случай

Для f(x) = u(x)/v(x) при v(x) ≠ 0 справедливо f′(x) = [u′(x)v(x) − u(x)v′(x)]/[v(x)]2. В числителе стоит разность, а не сумма; порядок «u′v минус uv′» принципиален. Квадрат знаменателя обычно нельзя сокращать без явной проверки множителей.

Пример: f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ≠ −1. Здесь u′ = 2x, v′ = 1. Значит f′ = [2x(x + 1) − (x2 + 1)]/(x + 1)2 = (x2 + 2x − 1)/(x + 1)2. После вычисления обязательно сохраняйте условие x ≠ −1.

Как проверить себя: сначала вычислите производную по правилу, затем для x = 0 или x = 1 (если допустимо) найдите её значение. Дополнительная проверка возможна через представление дроби как суммы целой части и правильной рациональной функции, когда это удобно.

Серия А — от простого к устойчивому алгоритму

В этой серии знаменатели линейны, кроме последнего пункта. Работайте с номерами 1–7, не пользуясь ключом. При затруднении сначала запишите четыре короткие строки: u = …, v = …, u′ = …, v′ = …. Затем подставьте их в шаблон и только после этого раскрывайте скобки.

  1. f(x) = (x2 + 2) / (x + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  2. f(x) = (x2 + 3·x) / (x − 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  3. f(x) = (2·x + 1) / (x + 2). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  4. f(x) = (x3 + 1) / (x + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  5. f(x) = (3·x2 − 1) / (2·x + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  6. f(x) = (x2 − 4) / (x + 3). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  7. f(x) = (x + 5) / (x2 + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.

Серия Б — независимый вариант для соседа по парте

Задания 8–14 содержат другие коэффициенты и более сложные числители. Попросите проверяющего ученика подчеркнуть возможное запрещённое значение x: без этой записи ответ неполон. Для рационального выражения с знаменателем x2 + 1 допустимы все действительные x, поскольку x2 + 1 положительно при любом x.

  1. f(x) = (x2 + 1) / (x − 2). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  2. f(x) = (x2 + 2·x) / (x + 3). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  3. f(x) = (3·x − 1) / (x + 4). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  4. f(x) = (x3 − 2) / (x − 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  5. f(x) = (2·x2 + 5) / (x + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  6. f(x) = (x2 + 3) / (x2 + 1). Найдите f′(x), укажите допустимые x.
  7. f(x) = (4·x + 1) / (x2 + 2). Найдите f′(x), укажите допустимые x.

Методическая проверка

Варианты можно раздать независимо. Для каждого решения предусмотрите два балла: один за применение правила производной и один за верное упрощение и исключение недопустимых значений. В сложном примере сначала проверить знаки удобнее, чем сокращать выражение. После выполнения ученику полезно подставить любое допустимое x и сравнить найденную формулу с прямой дифференциацией простой эквивалентной записи, если такая запись есть. Нельзя убирать исключённое значение только потому, что какой-то множитель удалось сократить.

Шаг Контрольный вопрос
Знаменатель Где исходная дробь не определена?
Производная числителя Верно ли применены правила степени и суммы?
Разность Сохранён ли порядок u′v − uv′?
Возведение в квадрат Весь ли знаменатель возведён в квадрат?

Ответы учителю: серии А и Б

  1. f′(x) = (x2 + 2·x − 2) / (x + 1)2; условие: x ∉ {-1}. Проверка: u′v − uv′ = (2·x)(x + 1) − (x2 + 2)(1).
  2. f′(x) = (x2 − 2·x − 3) / (x − 1)2; условие: x ∉ {1}. Проверка: u′v − uv′ = (2·x + 3)(x − 1) − (x2 + 3·x)(1).
  3. f′(x) = (3) / (x + 2)2; условие: x ∉ {-2}. Проверка: u′v − uv′ = (2)(x + 2) − (2·x + 1)(1).
  4. f′(x) = (2·x3 + 3·x2 − 1) / (x + 1)2; условие: x ∉ {-1}. Проверка: u′v − uv′ = (3·x2)(x + 1) − (x3 + 1)(1).
  5. f′(x) = (6·x2 + 6·x + 2) / (2·x + 1)2; условие: x ∉ {-1/2}. Проверка: u′v − uv′ = (6·x)(2·x + 1) − (3·x2 − 1)(2).
  6. f′(x) = (x2 + 6·x + 4) / (x + 3)2; условие: x ∉ {-3}. Проверка: u′v − uv′ = (2·x)(x + 3) − (x2 − 4)(1).
  7. f′(x) = (−x2 − 10·x + 1) / (x2 + 1)2; условие: все действительные x. Проверка: u′v − uv′ = (1)(x2 + 1) − (x + 5)(2·x).
  8. f′(x) = (x2 − 4·x − 1) / (x − 2)2; условие: x ∉ {2}. Проверка: u′v − uv′ = (2·x)(x − 2) − (x2 + 1)(1).
  9. f′(x) = (x2 + 6·x + 6) / (x + 3)2; условие: x ∉ {-3}. Проверка: u′v − uv′ = (2·x + 2)(x + 3) − (x2 + 2·x)(1).
  10. f′(x) = (13) / (x + 4)2; условие: x ∉ {-4}. Проверка: u′v − uv′ = (3)(x + 4) − (3·x − 1)(1).
  11. f′(x) = (2·x3 − 3·x2 + 2) / (x − 1)2; условие: x ∉ {1}. Проверка: u′v − uv′ = (3·x2)(x − 1) − (x3 − 2)(1).
  12. f′(x) = (2·x2 + 4·x − 5) / (x + 1)2; условие: x ∉ {-1}. Проверка: u′v − uv′ = (4·x)(x + 1) − (2·x2 + 5)(1).
  13. f′(x) = (−4·x) / (x2 + 1)2; условие: все действительные x. Проверка: u′v − uv′ = (2·x)(x2 + 1) − (x2 + 3)(2·x).
  14. f′(x) = (−4·x2 − 2·x + 8) / (x2 + 2)2; условие: все действительные x. Проверка: u′v − uv′ = (4)(x2 + 2) − (4·x + 1)(2·x).

Ни одно исключённое значение x не становится допустимым после упрощения. При проверке допустимо оставлять нескороченный числитель u′v − uv′, если он вычислен верно и знаменатель записан квадратом.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым