Рабочий лист: рекуррентная запись числовой последовательности — математика, 9 класс

Рекуррентная запись — правило перехода от известного члена к следующему

Явная формула позволяет вычислить a_n по номеру n, а рекуррентная задаёт первый член и способ найти следующий через предыдущий. Например, a₁ = 4, a_n+1 = a_n + 3 даёт 4, 7, 10, 13, … . Без начального члена одного правила недостаточно: последовательностей с одинаковой разностью может быть бесконечно много.

В каждой задаче вычислите три следующих члена после a₁ (то есть a₂, a₃, a₄), если не указано иное. Номер n принимает значения 1, 2, 3, …; при вычислении a₂ нужно подставить n = 1. Запись a_n+1 означает очередной член, а не a_n плюс один.

Мини-тест А. Сдвиг на постоянное число (1–6)

1. a₁ = 2; a_n+1 = a_n + 4. Найдите a₂, a₃, a₄.
2. a₁ = 15; a_n+1 = a_n − 2. Найдите a₂, a₃, a₄.
3. a₁ = -3; a_n+1 = a_n + 5. Найдите a₂, a₃, a₄.
4. a₁ = 20; a_n+1 = a_n − 4. Найдите a₂, a₃, a₄.
5. a₁ = 0; a_n+1 = a_n + 7. Найдите a₂, a₃, a₄.
6. a₁ = 11; a_n+1 = a_n − 3. Найдите a₂, a₃, a₄.

Мини-тест Б. Умножение и изменение знака (7–12)

7. a₁ = 2; a_n+1 = (3)·a_n. Выпишите следующие три члена.
8. a₁ = 5; a_n+1 = (2)·a_n. Выпишите следующие три члена.
9. a₁ = -3; a_n+1 = (2)·a_n. Выпишите следующие три члена.
10. a₁ = 4; a_n+1 = (-2)·a_n. Выпишите следующие три члена.
11. a₁ = 1; a_n+1 = (-3)·a_n. Выпишите следующие три члена.
12. a₁ = -2; a_n+1 = (-2)·a_n. Выпишите следующие три члена.

Мини-тест В. Номер шага участвует в формуле (13–16)

13. a₁ = 1; a_n+1 = a_n + n. Укажите a₂, a₃, a₄.
14. a₁ = 2; a_n+1 = a_n + 2n. Укажите a₂, a₃, a₄.
15. a₁ = 10; a_n+1 = a_n − n. Укажите a₂, a₃, a₄.
16. a₁ = -2; a_n+1 = a_n + 3n. Укажите a₂, a₃, a₄.

Мини-тест Г. Сначала умножьте, потом прибавьте (17–20)

17. a₁ = 1; a_n+1 = 2a_n + 1. Вычислите следующие три значения.
18. a₁ = 2; a_n+1 = 3a_n − 1. Вычислите следующие три значения.
19. a₁ = 5; a_n+1 = 2a_n − 3. Вычислите следующие три значения.
20. a₁ = -1; a_n+1 = 2a_n + 4. Вычислите следующие три значения.

Ответы к мини-тестам и пояснения

1. 6, 10, 14. Каждый раз прибавляем 4.
2. 13, 11, 9. Каждый раз вычитаем 2.
3. 2, 7, 12. Каждый раз прибавляем 5.
4. 16, 12, 8. Каждый раз вычитаем 4.
5. 7, 14, 21. Каждый раз прибавляем 7.
6. 8, 5, 2. Каждый раз вычитаем 3.

7. 6, 18, 54. Последовательно умножаем на 3.
8. 10, 20, 40. Последовательно умножаем на 2.
9. -6, -12, -24. Последовательно умножаем на 2.
10. -8, 16, -32. Последовательно умножаем на -2.
11. -3, 9, -27. Последовательно умножаем на -3.
12. 4, -8, 16. Последовательно умножаем на -2.

13. 2, 4, 7. При n = 1, 2, 3 изменения равны 1, 2, 3.
14. 4, 8, 14. При n = 1, 2, 3 изменения равны 2, 4, 6.
15. 9, 7, 4. При n = 1, 2, 3 изменения равны -1, -2, -3.
16. 1, 7, 16. При n = 1, 2, 3 изменения равны 3, 6, 9.

17. 3, 7, 15. Подставляем предыдущий найденный член, а не исходный a₁.
18. 5, 14, 41. Подставляем предыдущий найденный член, а не исходный a₁.
19. 7, 11, 19. Подставляем предыдущий найденный член, а не исходный a₁.
20. 2, 8, 20. Подставляем предыдущий найденный член, а не исходный a₁.

Разбор задания 13: a₁ = 1 и a_n+1 = a_n + n. Поэтому a₂ = 1 + 1 = 2; a₃ = 2 + 2 = 4; a₄ = 4 + 3 = 7. Частая ошибка — на каждом шаге вновь прибавлять единицу, будто n всегда равно 1. Номер шага меняется по мере продвижения вдоль ряда.

Разбор задания 17: a₁ = 1; a₂ = 2·1 + 1 = 3; a₃ = 2·3 + 1 = 7; a₄ = 2·7 + 1 = 15. Правило 2a_n + 1 нельзя применять к номеру члена n; умножается само предыдущее значение. Для подтверждения всегда подставляйте полученные числа назад в формулу.

Проверка: каждую найденную тройку пропустите через рекуррентное равенство. Ошибка, появившаяся в a₂, обычно переносится в a₃ и a₄, поэтому сначала проверьте самый ранний неверный шаг. В контрольной можно оценивать по одному баллу за каждую верную тройку; если интересует именно алгоритм, разрешите частичный балл за два верных перехода.

Дополнительная проверка понимания: придумайте собственное a₁ и правило вида a_n+1 = a_n + 2n, затем обменяйтесь рядами с соседом по парте. Для 9 класса рекуррентная форма — полезное дополнение к явным формулам арифметической и геометрической прогрессий; в разных школьных программах глубина изучения может различаться.

Как вести таблицу рекуррентного вычисления

Для каждой строки подготовьте три колонки: «номер n», «предыдущее значение aₙ», «новое значение aₙ₊₁». В случае формулы aₙ₊₁ = aₙ + 2n первый переход — от a₁ к a₂ — использует n = 1. Второй переход использует n = 2, даже если новое число не равно двум. Такая запись разграничивает роль номера и роль значения последовательности. Она особенно полезна в заданиях 13–20, где две разные величины встречаются в одной формуле.

Если при каждом переходе получается одно и то же число, проверьте: не подставляете ли вы постоянно a₁ вместо aₙ? Если все члены неожиданно увеличиваются на одну и ту же разность, проверьте, не забыли ли изменение n. Для дополнительной проверки попросите соседа по парте вычислить a₅ из вашего a₄; ответ должен совпасть с вычислением по исходному правилу.