Рабочий лист: сочетания без повторений на практических примерах — математика, 9 класс

Рабочий лист • 9 класс • 3 самостоятельных варианта по 5 заданий. В каждом варианте действуют одинаковые правила, но исходные числа и жизненные ситуации различаются. Задание: посчитать, сколькими способами можно выбрать предметы или людей, если порядок выбора не важен и один объект нельзя выбирать дважды.

Сочетание без повторений — это набор из k различных элементов, выбранных из n различных элементов, когда перестановка внутри набора не образует новый результат. Например, пара «Аня и Дина» совпадает с парой «Дина и Аня». Для вычислений используется C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Если формула ещё не изучалась в вашей программе, можно решить первые примеры списком пар или деревом выбора, а затем обсудить закономерность.

Быстрая проверка признаков: все участники различимы; запрещено повторять один объект; у группы нет ролей вроде «председатель» и «секретарь». Если роли появились, число вариантов может измениться: тогда сначала уточните условие. Для C(6, 2) получаем (6 · 5) / 2 = 15: делим на 2, потому что каждую пару посчитали в двух порядках.

Как распределить работу и не подсмотреть ключ

На листе впишите имя, дату и номер варианта. На каждое задание отводите место для записи C(n, k), подстановки и числа. Один вариант занимает приблизительно 12–15 минут; все три подходят для дифференцированной самостоятельной работы. Ответы расположены после всех вариантов, чтобы печатать только ученическую часть.

Для проверки можете выбрать один маленький пример и перечислить наборы вручную. Этот метод особенно полезен при n = 5 и k = 2: перечисление должно дать десять разных пар, ни одна не повторяется.

Вариант А

Начните с двухместного выбора, затем перейдите к более крупным командам. Если вычисление кажется громоздким, сокращайте общие множители до перемножения.

1. Сколько существует способов выбрать 2 организаторов из 5 учеников? Запишите число C(5, 2) и ответ: ______.
2. Сколько существует способов составить набор из 3 разных открыток среди 7 видов (по одной каждого вида)? Запишите число C(7, 3) и ответ: ______.
3. Сколько существует способов из 6 книг выбрать 2 для выставки? Запишите число C(6, 2) и ответ: ______.
4. Сколько существует способов назначить группу из 4 волонтёров среди 8 желающих? Запишите число C(8, 4) и ответ: ______.
5. Сколько существует способов выбрать 3 факультативных занятия из 5 предложенных? Запишите число C(5, 3) и ответ: ______.

Вариант Б

Отметьте в условии число кандидатов и размер набора. Для каждого результата решите, почему выбор «в обратном порядке» не надо считать повторно.

6. Сколько существует способов выбрать 2 экскурсии из 9 возможных? Запишите число C(9, 2) и ответ: ______.
7. Сколько существует способов составить команду из 3 человек среди 6 кандидатов? Запишите число C(6, 3) и ответ: ______.
8. Сколько существует способов выбрать 4 разные фотографии из 7? Запишите число C(7, 4) и ответ: ______.
9. Сколько существует способов собрать набор из 2 отличающихся марок среди 8? Запишите число C(8, 2) и ответ: ______.
10. Сколько существует способов выбрать 5 произведений из 6 для чтения? Запишите число C(6, 5) и ответ: ______.

Вариант В

Проверяйте здравый смысл: C(n, k) равно C(n, n − k), поскольку каждому выбранному набору соответствует набор оставшихся объектов.

11. Сколько существует способов выбрать 3 партнёров для проекта из 8? Запишите число C(8, 3) и ответ: ______.
12. Сколько существует способов набрать группу из 2 специалистов среди 7? Запишите число C(7, 2) и ответ: ______.
13. Сколько существует способов выбрать 4 картины из 9 для экспозиции? Запишите число C(9, 4) и ответ: ______.
14. Сколько существует способов составить комплект из 3 разных задач из 7? Запишите число C(7, 3) и ответ: ______.
15. Сколько существует способов выбрать 2 выступления из 6 для обсуждения? Запишите число C(6, 2) и ответ: ______.

Ключ учителю: ответы на три варианта

Нумерация ключа совпадает с общей нумерацией рабочего листа. Обратите внимание: числа 9 и 3 в формуле означают всего девять вариантов объектов и три выбираемых, а не три попытки с возвращением. Ответы получены по формуле сочетаний, без повторений.

1. C(5, 2) = 10. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 2 организаторов из 5 учеников.
2. C(7, 3) = 35. Порядок выбранных элементов не учитывается: составить набор из 3 разных открыток среди 7 видов (по одной каждого вида).
3. C(6, 2) = 15. Порядок выбранных элементов не учитывается: из 6 книг выбрать 2 для выставки.
4. C(8, 4) = 70. Порядок выбранных элементов не учитывается: назначить группу из 4 волонтёров среди 8 желающих.
5. C(5, 3) = 10. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 3 факультативных занятия из 5 предложенных.
6. C(9, 2) = 36. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 2 экскурсии из 9 возможных.
7. C(6, 3) = 20. Порядок выбранных элементов не учитывается: составить команду из 3 человек среди 6 кандидатов.
8. C(7, 4) = 35. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 4 разные фотографии из 7.
9. C(8, 2) = 28. Порядок выбранных элементов не учитывается: собрать набор из 2 отличающихся марок среди 8.
10. C(6, 5) = 6. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 5 произведений из 6 для чтения.
11. C(8, 3) = 56. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 3 партнёров для проекта из 8.
12. C(7, 2) = 21. Порядок выбранных элементов не учитывается: набрать группу из 2 специалистов среди 7.
13. C(9, 4) = 126. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 4 картины из 9 для экспозиции.
14. C(7, 3) = 35. Порядок выбранных элементов не учитывается: составить комплект из 3 разных задач из 7.
15. C(6, 2) = 15. Порядок выбранных элементов не учитывается: выбрать 2 выступления из 6 для обсуждения.

Проверка понимания

Попросите ученика объяснить на конкретном примере, почему C(7, 2) = C(7, 5), хотя выбирают разное число объектов. Ответ: каждой паре выбранных из семи соответствует ровно одна пятёрка оставшихся. В качестве самостоятельного контроля подсчитайте C(5, 3) двумя путями: перебором всех троек и формулой 5 · 4 · 3 / (3 · 2 · 1) = 10.

Типичная ошибка — перемножить n · (n − 1) и не поделить на число перестановок внутри набора. Этот приём считает упорядоченные списки, а не сочетания. Другая ошибка — разрешить повторный выбор: в наших условиях нельзя взять одного и того же ученика два раза. При устном разборе достаточно сравнить две конкретные перестановки одной пары.

Для учеников, которым формула даётся трудно, оставьте одну задачу с 5–6 объектами и предложите метод систематического перечня. Для уверенно решающих предложите доказать равенство C(n, k) = C(n, n − k) и объяснить его без факториалов.