Рабочий лист: составление квадратного уравнения по двум корням — математика, 8 класс

8 класс · рабочий лист для урока, домашней работы и повторения. Здесь 30 заданий, но все они посвящены одной операции: составить квадратное уравнение, если известны два его корня. Прежде чем заполнять лист, убедитесь, что знакомы с умножением двучленов и приведением подобных членов. Данные подобраны так, чтобы задания начинались с целых чисел, а позже появились нуль, повторяющиеся и дробные корни.

Карточка 1. Составьте приведённое уравнение

Задания 1–10: подставьте данные корни в формулу и приведите подобные. Пока не пользуйтесь дискриминантом: здесь требуется составлять уравнение, а не искать уже известные корни. Если получились дробные коэффициенты, разрешено домножить на общий знаменатель, но это нужно отметить.

1. Корни 2 и 5. Запишите уравнение.
2. Корни -1 и 4. Запишите уравнение.
3. Корни -2 и -3. Запишите уравнение.
4. Корни 0 и 7. Запишите уравнение.
5. Корни 1 и 1. Запишите уравнение.
6. Корни -4 и 4. Запишите уравнение.
7. Корни 3 и -5. Запишите уравнение.
8. Корни -6 и -1. Запишите уравнение.
9. Корни 1/2 и 3. Запишите уравнение.
10. Корни -1/2 и 2. Запишите уравнение.

Карточка 2. Заполните пустые места

Задания 11–18: неизвестен только один коэффициент. Сначала найдите сумму корней, потом произведение. Не меняйте уже указанный старший коэффициент.

11. Корни 4 и 6: x² − ___x + 24 = 0.
12. Корни −3 и 2: x² + ___x − 6 = 0.
13. Корни 5 и 5: x² − 10x + ___ = 0.
14. Корни −4 и −2: x² + 6x + ___ = 0.
15. Корни −1 и 7: x² − ___x − 7 = 0.
16. Корни 3 и −3: x² + ___x − 9 = 0.
17. Корни 0 и −8: x² + ___x = 0.
18. Корни 2 и 1/2: 2x² − ___x + 2 = 0.

Карточка 3. Самостоятельная работа по выбору

Задания 19–30: 19–22 выполняют все ученики, 23–26 — при уверенной работе с дробями, 27–30 — проверка переноса навыка. Нумерация единая, чтобы учитель мог назначить индивидуальный маршрут. Для каждого ответа покажите не менее одного промежуточного равенства.

19. Составьте приведённое уравнение с корнями 2 и 8.
20. Составьте приведённое уравнение с корнями −7 и −3.
21. Составьте приведённое уравнение с корнями 2 и −5.
22. Составьте уравнение с целыми коэффициентами и корнями 1/3 и 3.
23. Составьте уравнение с целыми коэффициентами и корнями −1/4 и 2.
24. Составьте уравнение с целыми коэффициентами и корнями −3/2 и −1/2.
25. Составьте приведённое уравнение с двукратным нулевым корнем.
26. Корни −2 и 6. Требуется, чтобы старший коэффициент был 2.
27. Двойной корень −5. Запишите уравнение в стандартном виде.
28. Корни −2 и 4. Старший коэффициент должен быть 3.
29. Составьте уравнение с целыми коэффициентами и корнями 5/2 и −1/2.
30. Корни 7 и −1. Старший коэффициент должен быть 2.

Таблица самопроверки для ученика

Как выполнять задания без формального угадывания

Для любой пары корней u и v найдите сначала два числа: S = u + v и P = uv. Затем записывайте x² − Sx + P = 0. Эту формулу удобно держать в черновике: в отличие от прямого умножения скобок она сразу показывает структуру ответа. При двух положительных корнях коэффициент при x обычно отрицателен, а свободный член положителен; если корни разных знаков, свободный член отрицателен.

Разберём номер 2. Корни −1 и 4. Сумма равна 3, произведение −4; поэтому x² − 3x − 4 = 0. Подстановка −1 даёт 1 + 3 − 4 = 0, подстановка 4 — 16 − 12 − 4 = 0. Обе проверки необходимы: неверно составленное квадратное уравнение может случайно удовлетворяться одним заданным корнем, но не другим.

Номер 3 отличается знаком произведения. Для −2 и −3 сумма −5, произведение 6. Получается x² + 5x + 6 = 0. Ученики иногда пишут x² − 5x + 6 = 0, потому что просто складывают модули корней. На самом деле коэффициент при x равен минус сумме, то есть −(−5) = +5. Стоит специально проговорить этот двойной знак.

Номер 4 показывает, что квадратное уравнение с нулевым свободным членом вполне допустимо. У корней 0 и 7 сумма 7, произведение 0; запись x² − 7x = 0 уже находится в стандартном виде. Не нужно добавлять выдуманное число вместо нуля. При подстановке x = 0 оба слагаемых обращаются в нуль.

Равные корни и противоположные числа

В номере 5 оба корня равны 1, поэтому (x − 1)(x − 1) = (x − 1)² = 0. Получаем x² − 2x + 1 = 0. Разные корни из такого уравнения искать не нужно: один корень, взятый дважды, тоже удовлетворяет требованию «по двум корням» с учётом кратности.

В номере 6 числа −4 и 4 противоположны. Их сумма 0 и произведение −16; линейный член исчезает, и остаётся x² − 16 = 0. Это частный случай разности квадратов. Полезно связать его с геометрическим смыслом произведения двучленов: (x + 4)(x − 4) раскрывается без члена при x.

Что делать с дробными корнями

Для номера 9 корни 1/2 и 3, поэтому S = 7/2, P = 3/2. Приведённое уравнение имеет вид x² − (7/2)x + 3/2 = 0. Умножение всех членов на 2 даёт 2x² − 7x + 3 = 0. Обе записи имеют именно эти два корня, но вторая удобнее при проверке целых коэффициентов. Нельзя домножать только члены с x и забывать свободный.

Номер 10 устроен похожим образом, но один корень отрицательный: −1/2 и 2. Здесь S = 3/2 и P = −1, поэтому x² − (3/2)x − 1 = 0, а после умножения на 2 — 2x² − 3x − 2 = 0. При умножении на 2 произведение корней у нового уравнения остаётся −1, хотя свободный член стал −2: потому что старший коэффициент теперь равен 2.

Общий множитель не меняет множество корней

Если известны корни 2 и 8, можно записать x² − 10x + 16 = 0. При умножении всего уравнения на 5 получится 5x² − 50x + 80 = 0 с теми же корнями. Однако в номере 19 требуется именно приведённое уравнение, поэтому правильным стандартным ответом будет первый вариант. В номере 26, напротив, старший коэффициент специально указан равным 2, и на него необходимо умножить все коэффициенты.

Сравните задания 22 и 23: они специально требуют целых коэффициентов при дробных корнях. Для корней 1/3 и 3 запись x² − (10/3)x + 1 = 0 умножается на 3; для −1/4 и 2 сумма равна 7/4, произведение −1/2, поэтому умножение на 4 приводит к целым коэффициентам. Не выбрасывайте знаменатель только в одном слагаемом — это разрушит равенство.

Разумная индивидуализация

Учащимся, которые допускают ошибки в знаках, предложите начать с первой карточки и дополнительных устных пояснений. Тем, кто быстро выполняет простые случаи, дайте задания с дробными числами и заданным старшим коэффициентом. Учителю удобно попросить ученика объяснить, почему одного совпадения суммы недостаточно: возможны разные пары корней с одинаковой суммой, но разным произведением.

Для взаимопроверки один ученик составляет уравнение, другой получает указанные два корня подстановкой. Далее они сверяют сумму и произведение с коэффициентами. Этот контроль позволяет отличить случайную арифметическую ошибку от непонимания отрицательных чисел или принципа эквивалентности уравнений. Проверять номера 11–18 удобно в парах: каждый сначала находит пропуск, а затем объясняет его происхождение.

Особое внимание уделите номеру 25 с нулевым двукратным корнем. Уравнение x² = 0 не является линейным: старший коэффициент равен 1, степень два, корень нуль повторяется. Это короткая, но содержательная проверка понимания определения квадратного уравнения. Если ученик предпочитает запись x(x − 0) = 0, попросите привести её к обычному виду.

После выполнения первых десяти пунктов полезно разделить их на группы: корни одного знака, корни разных знаков, корни с нулём, одинаковые корни и дробные корни. Такое сравнение показывает, почему меняются знаки коэффициентов, а не только даёт ещё одну серию вычислений. Учитель может попросить объяснить отличие двух любых групп, опираясь на сумму S и произведение P.

В заданиях с указанным старшим коэффициентом ответ должен не просто иметь правильные корни, но и удовлетворять требованию к коэффициенту при x². Так, для корней −2 и 6 приведённое уравнение x² − 4x − 12 = 0 имеет нужные корни, однако не завершает задание со старшим коэффициентом 2: требуется 2x² − 8x − 24 = 0. Это проверка чтения условия, а не новой теории.

Задания с повторяющимся корнем удобно проверить через дискриминант уже готового уравнения: у x² − 2x + 1 значение D равно 0, и у x² + 10x + 25 оно также равно 0. Это не обязательно для составления уравнений, зато даёт учащимся вторую независимую проверку результата. При двух различных корнях дискриминант положителен; поэтому построенное квадратное уравнение с двумя разными действительными корнями не должно иметь отрицательный D.

Ключ и объяснения для учителя

Ученику: сначала выполните задания; ответы ниже предназначены для сверки после работы. При печати можно выбрать только страницы с заданиями.

1–10. Раскрытие скобок

1. Сумма 7, произведение 10; x² − 7x + 10 = 0.
2. Сумма 3, произведение -4; x² − 3x − 4 = 0.
3. Сумма -5, произведение 6; x² + 5x + 6 = 0.
4. Сумма 7, произведение 0; x² − 7x = 0.
5. Сумма 2, произведение 1; x² − 2x + 1 = 0.
6. Сумма 0, произведение -16; x² − 16 = 0.
7. Сумма -2, произведение -15; x² + 2x − 15 = 0.
8. Сумма -7, произведение 6; x² + 7x + 6 = 0.
9. Сумма 7/2, произведение 3/2; x² − 7/2x + 3/2 = 0. После избавления от знаменателей: 2x² − 7x + 3 = 0.
10. Сумма 3/2, произведение -1; x² − 3/2x − 1 = 0. После избавления от знаменателей: 2x² − 3x − 2 = 0.

11–18. Пропущенные коэффициенты

11. 10, потому что 4 + 6 = 10 и 4 · 6 = 24.
12. 1, потому что −3 + 2 = −1 и коэффициент при x равен 1.
13. 25: 5 · 5 = 25.
14. 8: (−4)(−2) = 8.
15. 6: сумма корней 6.
16. 0: сумма корней 0.
17. 8: сумма −8, произведение 0.
18. 5: произведение 1, сумма 5/2; умножение x² − (5/2)x + 1 = 0 на 2.

19–30. Ответы для самостоятельной

19. S = 10, P = 16. x² − 10x + 16 = 0. Проверка: 2 + (8) = 10, 2 · (8) = 16.
20. S = -10, P = 21. x² + 10x + 21 = 0. Проверка: -7 + (-3) = -10, -7 · (-3) = 21.
21. S = -3, P = -10. x² + 3x − 10 = 0. Проверка: 2 + (-5) = -3, 2 · (-5) = -10.
22. S = 10/3, P = 1. 3x² − 10x + 3 = 0. Проверка: 1/3 + (3) = 10/3, 1/3 · (3) = 1.
23. S = 7/4, P = -1/2. 4x² − 7x − 2 = 0. Проверка: -1/4 + (2) = 7/4, -1/4 · (2) = -1/2.
24. S = -2, P = 3/4. 4x² + 8x + 3 = 0. Проверка: -3/2 + (-1/2) = -2, -3/2 · (-1/2) = 3/4.
25. S = 0, P = 0. x² = 0. Проверка: 0 + (0) = 0, 0 · (0) = 0.
26. S = 4, P = -12. 2x² − 8x − 24 = 0. Проверка: -2 + (6) = 4, -2 · (6) = -12.
27. S = -10, P = 25. x² + 10x + 25 = 0. Проверка: -5 + (-5) = -10, -5 · (-5) = 25.
28. S = 2, P = -8. 3x² − 6x − 24 = 0. Проверка: -2 + (4) = 2, -2 · (4) = -8.
29. S = 2, P = -5/4. 4x² − 8x − 5 = 0. Проверка: 5/2 + (-1/2) = 2, 5/2 · (-1/2) = -5/4.
30. S = 6, P = -7. 2x² − 12x − 14 = 0. Проверка: 7 + (-1) = 6, 7 · (-1) = -7.

Методические замечания и контрольные вопросы

Где чаще всего ошибаются? Ставят перед x сумму S вместо −S; получают отрицательный свободный член при двух отрицательных корнях; забывают умножить на старший коэффициент; ошибочно полагают, что разные записи одного уравнения означают разные корни. Попросите ученика обосновать любой ответ двумя равенствами, а не только раскрытием скобок.

Полезно сравнить номера 5 и 27: в обоих случаях два корня совпадают. Отсюда видно, почему x² − 2x + 1 = 0 и x² + 10x + 25 = 0 можно представить квадратами двучленов. Для номеров 9, 10, 22–24 и 29 есть два естественных варианта: приведённая запись с дробями и эквивалентная запись с целыми коэффициентами; оценивать следует обе, если соблюдено условие.

Оценивание: за каждый номер до 18 ставьте один балл, за номера 19–30 — два (один за правильное составление, второй за проверку). Максимум 42 балла. Если ученик сделал меньше половины, повторите формулу (x − u)(x − v); если ошибка встречается только на дробях, отдельно потренируйте умножение всего уравнения на общий знаменатель. Можно разделить материал на два урока без изменения порядка упражнений.