Рабочий лист: свойство касательных из одной внешней точки — математика, 9 класс

Парная работа · 9 класс · 22 задания · 35–45 минут. Одна группа учеников получает карточку A, другая — B, после чего пары меняются листами. Общая внешняя точка P и точки касания A, B одинаково обозначены во всех задачах: так не нужно заново разбирать геометрические условия.

Правило, которое нужно доказать

Если из точки P вне окружности проведены две касательные PA и PB, то PA = PB. В обоих местах касания радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому прямоугольные треугольники OAP и OBP равны по гипотенузе OP и катету OA = OB. Это не утверждение о любых отрезках, соединяющих точку P с окружностью: оно относится именно к касательным.

Раунд 1. Быстрый обмен

1. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 7 см, найдите PB.
2. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 12 см, найдите PB.
3. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 19 см, найдите PB.
4. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 28 см, найдите PB.
5. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 6 см, найдите PB.
6. Из внешней точки P проведены касательные PA и PB. Если PA = 35 см, найдите PB.

После каждого ответа спросите соседа: «Каким геометрическим фактом это обосновано?» Если в ответе только «по рисунку так выглядит», объяснение не принимается: схематичный чертёж может быть неточным. Важны именно две касательные, выходящие из одной точки вне окружности.

Раунд 2. Восстановите неизвестное

7. PA = 3x + 2, PB = 2x + 8 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
8. PA = 5x − 4, PB = 3x + 10 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
9. PA = 2(x + 3), PB = x + 11 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
10. PA = 4x + 1, PB = 2x + 13 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
11. PA = 3x − 2, PB = x + 12 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
12. PA = x/2 + 6, PB = x − 3 (см). Найдите x и длину каждой касательной.
13. PA = 6x − 1, PB = 4x + 13 (см). Найдите x и длину каждой касательной.

В этих уравнениях x — число, а длины указаны в сантиметрах. Сначала запишите PA = PB; только затем раскрывайте скобки, переносите члены и находите x. После решения проверьте, что обе вычисленные длины одинаковы и положительны. Если они различаются, ошибка в алгебре, а не в теореме.

Раунд 3. Геометрия и практический смысл

14. PA = PB = 8 см, хорда AB = 9 см. Найдите периметр треугольника PAB.
15. PA = 13 см, AB = 10 см. Найдите периметр треугольника PAB.
16. Расстояние от P до центра O равно 13 см, радиус OA = 5 см. Найдите PA.
17. OP = 17 см, радиус 8 см. Вычислите длины обоих отрезков касательных.
18. PA = 24 см и OA = 7 см. Найдите расстояние OP.
19. Угол между касательными ∠APB = 50°. Найдите меньший центральный угол ∠AOB.
20. Меньший центральный угол ∠AOB = 100°. Определите ∠APB.

Для задач с расстоянием OP используйте прямоугольный треугольник OAP: радиус касается прямой под прямым углом. Он позволяет связать расстояние до центра, радиус окружности и длину касательной по теореме Пифагора. Для задачи с углами рассмотрите четырёхугольник OAPB: два его угла равны 90°, а сумма четырёх углов 360°.

Финальный контроль объяснений

21. Ученик утверждает: «Если PA = PB, то хорда AB тоже обязательно равна PA». Исправьте ошибку.
22. Объясните, почему треугольники OAP и OBP равны, если OA = OB — радиусы, OP общая гипотенуза, а углы при A и B прямые.

Памятка проверяющему ученику

В заданиях 1–6 проверить нужно только числовой ответ и наличие ссылки на свойство касательных. В 7–13 требуется также показать уравнение PA = PB и обратную подстановку. В 14–20 подпишите чертёж: где радиус, где хорда, какие треугольники прямоугольные. В двух последних ответах оценивается содержание рассуждения: перечисление обозначений без логической связи не считается доказательством.

В конце листа попросите обоих учеников объяснить, почему равенство PA = PB не означает, что PA и PB — радиусы. Отрезки касательных идут от внешней точки к точкам окружности, а радиусы соединяют центр с точками касания. На чертеже выделите прямоугольные треугольники OAP и OBP и покажите, что PA и PB — их катеты, а OP — общая гипотенуза. Если ученик получил разные длины в задании с неизвестным x, сначала исправьте алгебраическое уравнение, не меняя геометрической модели. Ещё один быстрый контроль — расстояние OP всегда больше радиуса: внешняя точка не может оказаться на окружности при ненулевой касательной. Проверяющий может задавать дополнительные вопросы после любого решения, но они не влияют на исходную нумерацию карточки.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Карточка ученика A — равные отрезки

1. 7 см: касательные из одной внешней точки равны.
2. 12 см: касательные из одной внешней точки равны.
3. 19 см: касательные из одной внешней точки равны.
4. 28 см: касательные из одной внешней точки равны.
5. 6 см: касательные из одной внешней точки равны.
6. 35 см: касательные из одной внешней точки равны.

Карточка ученика B — уравнения

7. x = 6; PA = PB = 20 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
8. x = 7; PA = PB = 31 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
9. x = 5; PA = PB = 16 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
10. x = 6; PA = PB = 25 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
11. x = 7; PA = PB = 19 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
12. x = 18; PA = PB = 15 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.
13. x = 7; PA = PB = 41 см. Приравняйте выражения для двух отрезков и подставьте найденный x.

Обмен решениями: геометрические задачи

14. 25 см: 8 + 8 + 9.
15. 36 см: PB = 13 см, поэтому 13 + 13 + 10.
16. 12 см. В прямоугольном треугольнике OAP: PA² = OP² − OA² = 169 − 25 = 144.
17. PA = PB = 15 см: √(17² − 8²) = √225.
18. 25 см: OP = √(24² + 7²) = √625.
19. 130°. Сумма углов при A и B по 90°, поэтому ∠APB + ∠AOB = 180°.
20. 80°. Вычтите 100° из 180°.

Проверка доводов

21. Нет. Равны только отрезки двух касательных от P: PA и PB. Хорда AB обычно имеет другую длину.
22. По гипотенузе и катету: OP общая, OA = OB, оба треугольника прямоугольные. Следовательно PA = PB.

Критерии взаимной оценки: 1–6 по одному баллу, 7–13 по два (уравнение и проверка), 14–20 по два, 21–22 по два. Всего 38. После обмена отметьте тип ошибки: путаница касательной с хордой, неверное решение уравнения или неверное применение теоремы Пифагора. Под каждую ошибку выберите по одному аналогичному заданию, а не переписывайте целую работу.