Расчёт границ округлённой величины для интервалов времени в минутах и часах: самостоятельная работа, 5 класс

Исходные данные учебной мастерской

Как читать третью колонку: «18 мин» означает 17,5 ≤ t < 18,5 мин. При округлении половина минуты уходит вверх, поэтому правая граница не входит в интервал. Это не погрешность часов, а неопределённость вследствие округления записанного результата.

Математическая модель

Обозначим истинные длительности t₁, t₂, t₃, t₄, t₅. Для каждого этапа его значение находится в полуинтервале «записано − 0,5; записано + 0,5». Общее время T=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅. Поскольку этапы идут подряд, для нижней границы сложим пять нижних границ, для верхней — пять верхних.

Сумма записанных длительностей — 106 мин, то есть 1 ч 46 мин. Истинный цикл не может быть короче 103,5 мин и не может достигать 108,5 мин: 103,5 ≤ T < 108,5 мин. Это 1 ч 43 мин 30 с — 1 ч 48 мин 30 с (последняя граница исключена).

Самостоятельная работа: 15 связанных вопросов

1. 1. Переведите сумму записанных пяти интервалов (в минутах) в часы и минуты.
2. 2. Какова наименьшая возможная длительность чтения инструкции?
3. 3. Может ли лабораторная работа длиться 27 мин 30 с ровно?
4. 4. Каков интервал суммы первых двух этапов?
5. 5. Определите интервал для перерыва вместе с обсуждением.
6. 6. Найдите границы общей истинной длительности всех пяти этапов.
7. 7. Возможно ли, что полный цикл занял ровно 108 мин 30 с?
8. 8. Можно ли утверждать, что весь цикл точно закончился быстрее 109 мин?
9. 9. Что изменится в ответе № 6, если все исходные длительности по условию являются целыми числами минут?
10. 10. Переведите интервал длительности практики в минуты и секунды.
11. 11. Сколько могли длиться вместе лабораторная работа и практика?
12. 12. В другом протоколе тот же цикл записали как 1,8 часа до десятых часа. Какие длительности в минутах допускает одна такая запись?
13. 13. Может ли истинная длительность всего цикла составить ровно 104 мин? Обоснуйте.
14. 14. Если весь цикл дополнительно округлили до целых часов и получили 2 часа, противоречит ли это № 6?
15. 15. Кто-то объявил, что цикл занял 109 мин, округлив истинную суммарную длительность до ближайшей минуты. Возможен ли такой результат?

Разбор и ответы

1. 1. 18+27+11+14+36=106 мин = 1 ч 46 мин.
2. 2. 17,5 мин, то есть 17 мин 30 с; левая граница включена.
3. 3. Нет. Для записи 27 мин истинное время меньше 27,5 мин.
4. 4. [17,5+26,5; 18,5+27,5)=[44;46) мин.
5. 5. [10,5+13,5; 11,5+14,5)=[24;26) мин.
6. 6. Пять раз по 0,5 мин погрешности: [106−2,5;106+2,5)=[103,5;108,5) мин.
7. 7. Нет: 108,5 мин — исключённая верхняя граница.
8. 8. Да: 108,5 < 109, а суммарная длительность ещё меньше 108,5.
9. 9. Тогда каждое число в записи равно истинному целому числу минут: общая длительность точно 106 мин.
10. 10. От 35 мин 30 с включительно до 36 мин 30 с не включительно.
11. 11. [26,5+35,5;27,5+36,5)=[62;64) мин.
12. 12. 1,75 ≤ t < 1,85 ч. Умножение на 60 даёт [105;111) мин.
13. 13. Да. Например, если каждый из пяти этапов был на 0,4 мин короче записанного, сумма равна 106−5×0,4=104 мин.
14. 14. Нет. 2 часа с точностью до часа — [1,5;2,5) ч, то есть [90;150) мин; весь интервал № 6 в него входит.
15. 15. Нет: для округления до 109 мин нужно не меньше 108,5 мин, но суммарное время строго меньше 108,5.

Проверка разумности

Полученный интервал шириной 5 минут не означает, что каждый этап мог длиться на 5 минут больше или меньше. На каждый из пяти этапов приходится неопределённость не более половины минуты в одну сторону. Отдельно следите за единицами: 0,1 часа — это 6 минут, а не 10 минут.

Запись целого числа минут сама по себе не доказывает, что длительность была целой. В № 9 это специальное дополнительное условие. Аналогично, округление общей суммы до ближайшей минуты нельзя заменять сложением предварительно округлённых минут: это две разные процедуры.

Критерий самопроверки: 13–15 верных ответов — уверенное владение; 10–12 — проверьте граничные значения; менее 10 — снова составьте интервалы для двух этапов и лишь затем переходите к сумме.

Почему нельзя просто сложить пять округлений и объявить точный результат

Представим, что секретарь записал одно из действительных времен как 17 мин 40 с: после округления это 18 мин. Если такой же небольшой сдвиг был на каждом этапе, общая ошибка относительно суммы записанных длительностей накапливается. Но нельзя получить ровно 108 мин 30 с, потому что каждый этап имел бы достичь своей исключённой верхней границы.

Чтобы доказать возможность 104 минут в № 13, недостаточно написать, что число попадает между 103,5 и 108,5. Мы дали конкретный пример пяти независимых длительностей, каждая на 24 секунды короче соответствующей записи. Все пять по отдельности правильно округляются, а сумма равна 104. Такой пример подтверждает не только оценку, но и реальную осуществимость выбранной длительности.

В жизненных измерениях дополнительно могут существовать задержки между этапами. Эта модель считает, что пять этапов идут подряд без промежутков, не указанных в таблице. Если появится неучтённый шестой интервал — например, переход из кабинета в кабинет — его длительность потребуется прибавить отдельным слагаемым.

Порядок выполнения самостоятельной работы: сначала записать точные арифметические суммы округлённых чисел, затем интервалы истинных длительностей, после этого сравнивать с конкретными временами. Это позволяет отличить собственно перевод минут в часы от задачи с диапазонами значений.