Расчёт реальной доходности с учётом инфляции: примеры и объяснения для 11 класса

Пошаговый разбор — 11 класс. Номинальный доход показывает, сколько денежных единиц добавилось на счёте. Реальная доходность показывает, как изменилась покупательная способность: сколько условной корзины товаров можно купить после роста цен. В задачах ставки относятся к одному и тому же годовому периоду, налоги и комиссии для ясности не учитываются.

Точная модель и три разобранных примера

Если i — номинальная доходность, а π — инфляция, выраженные в долях единицы, то 1+r=(1+i)/(1+π), то есть r=(i−π)/(1+π). Ограничение: 1+π>0, иначе отношение индексов цен не имеет смысла; в этой карточке π≥0. Приближение r≈i−π подходит только для малых ставок и не даёт точного результата.

1. Доходность 10%, инфляция 5%: 1,10/1,05−1=0,047619…; реальная доходность ≈4,76%. Простая разность дала бы 5%, что не равно точному значению.
2. Доходность 6%, инфляция 9%: 1,06/1,09−1≈−0,027523; реальная доходность ≈−2,75%. Счёт в рублях вырос, но покупательная способность денег уменьшилась.
3. Доходность и инфляция по 7%: (1,07/1,07)−1=0. Реальная доходность 0%: товарная корзина стоит ровно столько, насколько увеличился вклад.

Проверьте направление результата

Серия задач с подсказкой: 1–6

1. 1. Номинальная доходность 10% за год, рост цен 5% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.
2. 2. Номинальная доходность 8% за год, рост цен 4% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.
3. 3. Номинальная доходность 12% за год, рост цен 6% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.
4. 4. Номинальная доходность 6% за год, рост цен 9% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.
5. 5. Номинальная доходность 15% за год, рост цен 10% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.
6. 6. Номинальная доходность 7% за год, рост цен 7% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______ Подсказка: разделите 1+i на 1+π, вычтите 1.

Самостоятельно без подсказки: 7–16

1. 7. Номинальная доходность 3% за год, рост цен 5% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
2. 8. Номинальная доходность 20% за год, рост цен 16% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
3. 9. Номинальная доходность 5% за год, рост цен 2% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
4. 10. Номинальная доходность 11% за год, рост цен 8% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
5. 11. Номинальная доходность 9% за год, рост цен 3% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
6. 12. Номинальная доходность 4% за год, рост цен 10% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
7. 13. Номинальная доходность 16% за год, рост цен 12% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
8. 14. Номинальная доходность 18% за год, рост цен 9% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
9. 15. Номинальная доходность 0% за год, рост цен 7% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______
10. 16. Номинальная доходность 25% за год, рост цен 20% за тот же год. Определите реальную доходность (можно со знаком минус) до сотых долей процента. Ответ: ______

Полный ключ: первые шесть

1. (1.1/1.05−1)·100%≈4,76% — реальный прирост покупательной способности.
2. (1.08/1.04−1)·100%≈3,85% — реальный прирост покупательной способности.
3. (1.12/1.06−1)·100%≈5,66% — реальный прирост покупательной способности.
4. (1.06/1.09−1)·100%≈-2,75% — снижение покупательной способности.
5. (1.15/1.1−1)·100%≈4,55% — реальный прирост покупательной способности.
6. (1.07/1.07−1)·100%≈0,00% — сохранение покупательной способности.

Полный ключ: остальные десять

1. (1.03/1.05−1)·100%≈-1,90% — снижение покупательной способности.
2. (1.2/1.16−1)·100%≈3,45% — реальный прирост покупательной способности.
3. (1.05/1.02−1)·100%≈2,94% — реальный прирост покупательной способности.
4. (1.11/1.08−1)·100%≈2,78% — реальный прирост покупательной способности.
5. (1.09/1.03−1)·100%≈5,83% — реальный прирост покупательной способности.
6. (1.04/1.1−1)·100%≈-5,45% — снижение покупательной способности.
7. (1.16/1.12−1)·100%≈3,57% — реальный прирост покупательной способности.
8. (1.18/1.09−1)·100%≈8,26% — реальный прирост покупательной способности.
9. (1/1.07−1)·100%≈-6,54% — снижение покупательной способности.
10. (1.25/1.2−1)·100%≈4,17% — реальный прирост покупательной способности.

Самопроверка на житейском примере

Если у вас было 100 условных денежных единиц и за год начислено 8%, итог в денежном выражении равен 108. Если индекс цены товарной корзины вырос с 100 до 104, число корзин, которое можно приобрести на деньги, изменилось в 108/104≈1,03846 раза. Покупательная способность выросла примерно на 3,85%, не на 4%. Избегайте смешения процентных пунктов и процентов относительно базы.

Частая ошибка — автоматически считать отрицательный реальный результат невозможным. Он закономерен, когда рост цен опережает доходность. Другая ошибка — прибавлять номинальный процент к инфляции вместо деления двух индексов. Третья — округлять коэффициенты до одного знака после запятой до вычисления отношения: это заметно искажает результаты при близких процентах. Проверка: ответ имеет размерность «проценты за год», а не рубли.