Расположение чисел по возрастанию при разных знаках знаменателя — математический практикум для 6 класса

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Исследовательская работа: знак знаменателя и порядок рациональных чисел

Задача-наблюдение: где на самом деле знак дроби?

Сравните записи (3)/(−4), (−3)/(4) и (−3)/(−4). Первые две обозначают одно число −3/4, а третья — число 3/4. Сама по себе отрицательность знаменателя ещё не означает, что рациональное число отрицательно: знак зависит от обоих знаков. Поэтому слепо сортировать по числителям невозможно.

Представьте три точки на прямой: −1/2, 0 и 1/2. Записи (1)/(−2) и (−1)/(2) совпадают в левой точке. Запись (−1)/(−2) совпадает с правой точкой. Если привести все знаменатели к положительным, порядок становится прозрачнее.

Сформулируйте правило своими словами

Закончите фразу: «Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, дробь …». Правильное продолжение: не изменит значения. Особенно удобно умножить оба элемента на −1, когда знаменатель отрицательный. Затем для дробей с положительными знаменателями используйте общий знаменатель, числовую прямую или вычисление разности. Нулевой знаменатель запрещён.

Проверьте утверждение контрпримером

Ученик сказал: «(−2)/(−5) меньше (1)/(4), потому что в первой записи встречаются два минуса». Проверьте: (−2)/(−5) = 2/5 = 0,4, а 1/4 = 0,25; следовательно 2/5 больше 1/4. Контрпример показывает, почему нужно сначала определить знак самого числа, а не количество минусов на бумаге.

Самостоятельный практикум: 14 наборов дробей

У каждого набора есть по пять различных рациональных чисел, записанных с разными знаками числителя и знаменателя. Для контроля сделайте три шага: 1) приведите знаменатели к положительному виду; 2) разделите значения на отрицательные и положительные; 3) расположите значения внутри каждой группы. Запишите пять чисел, соединяя их знаками «меньше».

1. Упорядочьте по возрастанию дроби (−2)/(−18), (15)/(−36), (−2)/(7), (−16)/(−44), (1)/(−5). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
2. Упорядочьте по возрастанию дроби (3)/(−3), (9)/(11), (8)/(−12), (−1)/(−3), (−6)/(14). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
3. Упорядочьте по возрастанию дроби (−4)/(5), (−20)/(−36), (11)/(−12), (10)/(22), (12)/(−21). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
4. Упорядочьте по возрастанию дроби (−40)/(−44), (3)/(−5), (−14)/(24), (15)/(−21), (−7)/(−9). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
5. Упорядочьте по возрастанию дроби (−6)/(−11), (−10)/(12), (18)/(−21), (−2)/(−9), (−8)/(20). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
6. Упорядочьте по возрастанию дроби (2)/(2), (−12)/(−27), (1)/(−5), (−4)/(8), (2)/(−7). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
7. Упорядочьте по возрастанию дроби (−21)/(−33), (3)/(−4), (−4)/(4), (3)/(−7), (−4)/(−6). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
8. Упорядочьте по возрастанию дроби (−12)/(−11), (−16)/(28), (4)/(−5), (10)/(−24), (3)/(27). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
9. Упорядочьте по возрастанию дроби (−20)/(28), (−1)/(−3), (6)/(−10), (−6)/(9), (−8)/(−11). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
10. Упорядочьте по возрастанию дроби (2)/(−5), (−8)/(−22), (−18)/(21), (−5)/(−9), (44)/(−48). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
11. Упорядочьте по возрастанию дроби (4)/(−14), (−3)/(15), (−9)/(−11), (28)/(−48), (7)/(9). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
12. Упорядочьте по возрастанию дроби (−9)/(21), (5)/(−6), (−8)/(−36), (5)/(11), (2)/(−2). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
13. Упорядочьте по возрастанию дроби (1)/(−2), (16)/(−20), (4)/(9), (−20)/(−22), (12)/(−21). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.
14. Упорядочьте по возрастанию дроби (−24)/(−44), (−3)/(5), (10)/(−14), (−6)/(−9), (−3)/(4). Перед сравнением перенесите минус из знаменателя в числитель, если это требуется; обоснуйте порядок хотя бы одной пары.

Разборы с правильными последовательностями

1. 1. После приведения знаков получаются 1/9, −5/12, −2/7, 4/11, −1/5. Порядок: −5/12 < −2/7 < −1/5 < 1/9 < 4/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
2. 2. После приведения знаков получаются −1, 9/11, −2/3, 1/3, −3/7. Порядок: −1 < −2/3 < −3/7 < 1/3 < 9/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
3. 3. После приведения знаков получаются −4/5, 5/9, −11/12, 5/11, −4/7. Порядок: −11/12 < −4/5 < −4/7 < 5/11 < 5/9. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
4. 4. После приведения знаков получаются 10/11, −3/5, −7/12, −5/7, 7/9. Порядок: −5/7 < −3/5 < −7/12 < 7/9 < 10/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
5. 5. После приведения знаков получаются 6/11, −5/6, −6/7, 2/9, −2/5. Порядок: −6/7 < −5/6 < −2/5 < 2/9 < 6/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
6. 6. После приведения знаков получаются 1, 4/9, −1/5, −1/2, −2/7. Порядок: −1/2 < −2/7 < −1/5 < 4/9 < 1. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
7. 7. После приведения знаков получаются 7/11, −3/4, −1, −3/7, 2/3. Порядок: −1 < −3/4 < −3/7 < 7/11 < 2/3. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
8. 8. После приведения знаков получаются 12/11, −4/7, −4/5, −5/12, 1/9. Порядок: −4/5 < −4/7 < −5/12 < 1/9 < 12/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
9. 9. После приведения знаков получаются −5/7, 1/3, −3/5, −2/3, 8/11. Порядок: −5/7 < −2/3 < −3/5 < 1/3 < 8/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
10. 10. После приведения знаков получаются −2/5, 4/11, −6/7, 5/9, −11/12. Порядок: −11/12 < −6/7 < −2/5 < 4/11 < 5/9. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
11. 11. После приведения знаков получаются −2/7, −1/5, 9/11, −7/12, 7/9. Порядок: −7/12 < −2/7 < −1/5 < 7/9 < 9/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
12. 12. После приведения знаков получаются −3/7, −5/6, 2/9, 5/11, −1. Порядок: −1 < −5/6 < −3/7 < 2/9 < 5/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
13. 13. После приведения знаков получаются −1/2, −4/5, 4/9, 10/11, −4/7. Порядок: −4/5 < −4/7 < −1/2 < 4/9 < 10/11. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.
14. 14. После приведения знаков получаются 6/11, −3/5, −5/7, 2/3, −3/4. Порядок: −3/4 < −5/7 < −3/5 < 6/11 < 2/3. Все положительные значения стоят правее отрицательных; внутри каждой группы сравните дроби приведением к общему знаменателю либо перекрёстным умножением положительных знаменателей.

Исследовательский вывод

Правильное сравнение не зависит от того, как вы поставили знаки в исходной записи. Одному рациональному числу соответствует много равных дробей: перенос минуса из знаменателя в числитель ничего не меняет. Если полученные знаки сравнения разойдутся с приблизительной оценкой на числовой прямой, вернитесь к нормализации дробей. Запрещено переворачивать знак неравенства без причины: он меняется при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, но не при умножении числителя и знаменателя одной дроби на −1.

Для дополнительного обсуждения найдите в любых двух наборах дробь с отрицательным числителем и отрицательным знаменателем. Объясните, почему её точка находится справа от нуля. Затем найдите дробь с положительным числителем, отрицательным знаменателем и объясните, почему она слева. Этот контроль показывает понимание знака числа, а не механическое заучивание списка ответов.