Расстояние между двумя точками плоскости: задачи и решения для 9 класса

Мини-тест, 9 класс. Проверяются чтение координат, вычисление длины отрезка и распознавание неверных рассуждений. Для задач 1–12 достаточно координатной сетки; для 13–16 нужно объяснение.

Опорное правило за 30 секунд

Для точек A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) горизонтальный сдвиг равен Δx = x₂ − x₁, вертикальный — Δy = y₂ − y₁. По теореме Пифагора d = √((Δx)² + (Δy)²). Квадратный корень всегда берётся неотрицательный. Если точки совпадают, d = 0; иначе d > 0.

Пример: A(−1; 2), B(2; −2). Получаем Δx = 3, Δy = −4 и d = √(9 + 16) = 5. Порядок вычитания можно поменять одновременно в обоих слагаемых: квадраты устраняют знаки.

Лист ученика — 16 заданий

В заданиях 1–12 укажите точное значение длины. Если под корнем не полный квадрат, оставьте ответ с корнем; десятичное приближение необязательно. В заданиях 13–16 достаточно 1–2 обоснованных предложений.

1. Найдите расстояние между A(-3; 2) и B(1; 5). Запишите точный ответ без округления. __________
2. Найдите расстояние между A(0; -4) и B(0; 3). Запишите точный ответ без округления. __________
3. Найдите расстояние между A(-5; -1) и B(-1; -4). Запишите точный ответ без округления. __________
4. Найдите расстояние между A(2; 3) и B(5; 7). Запишите точный ответ без округления. __________
5. Найдите расстояние между A(-2; -3) и B(4; 5). Запишите точный ответ без округления. __________
6. Найдите расстояние между A(1; 1) и B(4; 2). Запишите точный ответ без округления. __________
7. Найдите расстояние между A(-6; 2) и B(-2; 6). Запишите точный ответ без округления. __________
8. Найдите расстояние между A(3; -5) и B(-1; 1). Запишите точный ответ без округления. __________
9. Найдите расстояние между A(4; 0) и B(-4; 0). Запишите точный ответ без округления. __________
10. Найдите расстояние между A(-1; 7) и B(3; 10). Запишите точный ответ без округления. __________
11. Найдите расстояние между A(-4; -2) и B(2; 0). Запишите точный ответ без округления. __________
12. Найдите расстояние между A(5; -3) и B(2; -7). Запишите точный ответ без округления. __________
13. Точка P(−2; 4) и Q(3; 4): утверждается, что расстояние равно 1, потому что ординаты равны. Верно ли это?
14. Между точками (1; 2) и (4; 6) ученик нашёл 3 + 4 = 7. Где ошибка?
15. Если поменять местами начало и конец отрезка, изменится ли расстояние? Обоснуйте.
16. Могут ли две разные точки целочисленной сетки находиться на расстоянии 0? Объясните.

Лист ответов и кратких объяснений

1. Δx = 4, Δy = 3; d = √(16 + 9) = 5 единиц длины.
2. Δx = 0, Δy = 7; d = √(0 + 49) = 7 единиц длины.
3. Δx = 4, Δy = -3; d = √(16 + 9) = 5 единиц длины.
4. Δx = 3, Δy = 4; d = √(9 + 16) = 5 единиц длины.
5. Δx = 6, Δy = 8; d = √(36 + 64) = 10 единиц длины.
6. Δx = 3, Δy = 1; d = √(9 + 1) = √10 единиц длины.
7. Δx = 4, Δy = 4; d = √(16 + 16) = √32 единиц длины.
8. Δx = -4, Δy = 6; d = √(16 + 36) = √52 единиц длины.
9. Δx = -8, Δy = 0; d = √(64 + 0) = 8 единиц длины.
10. Δx = 4, Δy = 3; d = √(16 + 9) = 5 единиц длины.
11. Δx = 6, Δy = 2; d = √(36 + 4) = √40 единиц длины.
12. Δx = -3, Δy = -4; d = √(9 + 16) = 5 единиц длины.
13. Нет: горизонтальное расстояние равно |3 − (−2)| = 5. Совпадающие ординаты не означают совпадающие точки.
14. Это сумма длин перемещений по осям, а не длина прямого отрезка. Нужно √(3² + 4²) = 5.
15. Нет. Разности координат меняют знак, но их квадраты сохраняются: (−Δx)² = (Δx)².
16. Нет. Сумма двух квадратов равна нулю только при Δx = Δy = 0, то есть когда точки совпадают.

Как оценить себя

Разбор спорных вариантов

Ошибка 1. Пишут Δx = x₁ + x₂, когда координата отрицательна. Разность вычисляется со знаком: для −3 и 1 она равна 1 − (−3) = 4.

Ошибка 2. Складывают |Δx| + |Δy| и называют сумму расстоянием. Так получается длина пути «по клеткам», а не кратчайший отрезок.

Ошибка 3. Превращают √40 в 20 или округляют его до целого без указания приближения. Точная запись √40 = 2√10 сохраняет значение.

Проверьте результат геометрически: расстояние не может быть меньше абсолютного изменения ни одной координаты. Если по оси x пройдено 8 клеток, итоговая длина отрезка не меньше 8 клеток. Единица длины здесь условная: при масштабе 1 клетка = 1 см ответы были бы в сантиметрах.