Расстояние между двумя точками в пространстве: самостоятельная работа по математике, 11 класс

Расстояние от пункта A до пункта B

Даны координаты двух точек в трёхмерной прямоугольной системе. Геометрическое расстояние d(A,B) между ними определяется по трём разностям: d=√((xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²). Оно не зависит от направления: d(A,B)=d(B,A). Отрицательный ответ невозможен, а d=0 означает совпадение точек. Если точки обозначают реальные места, все координаты должны быть в одной единице длины.

Два способа решить одну задачу

Пусть A(−2; 1; 5) и B(4; 9; 2). Способ 1: разности Δx=6, Δy=8, Δz=−3; d=√(36+64+9)=√109 единиц. Способ 2: сначала найдём длину горизонтальной проекции на плоскость xy: √(6²+8²)=10; затем применим Пифагора с разностью высот −3: d=√(10²+3²)=√109. При согласованных координатах способы дают один результат.

Метод по двум прямоугольным треугольникам хорошо объясняет происхождение формулы. Но он не равен длине пути по коридорам, по осям или по лестницам: d — кратчайший прямой отрезок. Укажем в ответе единицы, если они есть в исходных координатах.

Самостоятельная работа — 12 координатных задач

Вычислите квадрат расстояния и затем извлеките корень. Дробные и иррациональные расстояния оставляйте в точной форме. Для каждого пункта можно дополнительно поменять A и B местами и убедиться, что длина не изменится.

1. Найдите расстояние между A(1; 3; -2) и B(4; 7; 10).
2. Найдите расстояние между A(-3; 5; 4) и B(1; 2; -8).
3. Найдите расстояние между A(0; 0; 0) и B(6; 2; 3).
4. Найдите расстояние между A(9; -4; 1) и B(4; 8; 1).
5. Найдите расстояние между A(-7; -2; -1) и B(-7; 4; 7).
6. Найдите расстояние между A(3; 3; 3) и B(3; 3; 3).
7. Найдите расстояние между A(2; -5; 8) и B(-1; -1; 0).
8. Найдите расстояние между A(-6; 1; -5) и B(6; 6; -5).
9. Найдите расстояние между A(4; -2; 7) и B(0; 4; 10).
10. Найдите расстояние между A(5; 0; -4) и B(-3; 0; 11).
11. Найдите расстояние между A(-2; 1; 1) и B(1; 2; 3).
12. Найдите расстояние между A(0; -7; 2) и B(0; 5; 7).

Шесть прикладных проверок

1. Два датчика имеют координаты A(1; 2; 0) м и B(4; 6; 12) м. Найдите расстояние между датчиками по прямой.
2. Модели одной и той же комнаты заданы в сантиметрах: A(20; 40; 10), B(20; 40; 210). Найдите расстояние в метрах.
3. В масштабе координат 1 единица = 2 м. A(0; 0; 0), B(3; 4; 0). Найдите расстояние в метрах.
4. A(−4; 7; 2), B(−4; 7; 2). Ученик получил d=2. Укажите правильный результат.
5. От точки A до B разности координат равны (−9; 12; 20). Может ли прямое расстояние быть 41 единица?
6. A(−1; 2; 3), B(3; 5; 15). Может ли расстояние быть меньше изменения z по модулю?

Ответы — арифметика по каждому измерению

Ответы к прикладным задачам

1. 13. Δ=(3; 4; 12) м, d=√(9+16+144)=13 м; метры нельзя заменить квадратными метрами.
2. 14. Разность только z: 200 см = 2 м. d=√(200²)=200 см, затем делим на 100.
3. 15. По сетке d=√(3²+4²)=5 единиц. Реальное расстояние 5·2=10 м.
4. 16. Расстояние равно 0: все разности нулевые; координата z=2 не означает длину 2.
5. 17. Нет: d=√(81+144+400)=√625=25 единиц. Сумма модулей 9+12+20=41 — длина пути по осям.
6. 18. Нет: |Δz|=12, d=√(4²+3²+12²)=13≥12. Корень суммы неотрицательных квадратов не меньше любой абсолютной компоненты.

Что делать с типичными ошибками

Если один из переходов имеет отрицательное приращение, квадрат остаётся положительным: (−9)²=81. Если ученик не возводит одну координату в квадрат, сумма может оказаться отрицательной, чего в правильной формуле не бывает. Если координаты имеют разные масштабы, например x и y в метрах, а z в сантиметрах, сначала переведите их в одинаковые единицы; иначе формула даёт физически бессмысленный результат.

Нельзя делать вывод «точки близки», сравнивая только x или z. Расстояние учитывает все три координаты одновременно. Если расстояние должно быть не более 10 м, сверяйте полученную величину с порогом в тех же единицах: сравнение квадратов d²≤100 м² часто позволяет обойтись без приближённого корня. Это полезно для контроля безопасного расстояния между объектами.

Критерий: за каждую из 12 первых задач начисляйте 1 балл за три разности, 1 балл за сумму квадратов и 1 за точный корень. В прикладных задачах важно также записать единицы и смысл прямого расстояния. Максимальный результат при оценке 3 балла за первые 12 и 2 балла за последние 6 — 48 баллов.

Пограничные случаи и проверка по квадрату расстояния

Предположим, при проверке системы безопасности разрешено расстояние не более 13 м. Для точек A(1; 2; 0) и B(4; 6; 12) разности равны (3; 4; 12), поэтому d²=169 м² и d=13 м: требование выполняется ровно на границе. Если по ошибке заменить условие d≤13 строгим d<13, граничная ситуация будет неверно исключена. В задачах с ограничением важно учитывать знаки неравенства.

Чтобы сравнить два расстояния, иногда не надо извлекать корни. Для перехода с разностями (2; 3; 6) квадрат расстояния равен 49, а для перехода (4; 4; 4) — 48. Значит, второй переход по прямой короче, потому что √48<7, хотя отдельные компоненты второго перехода могут быть больше. Функция квадратного корня возрастает при неотрицательных аргументах; поэтому сравнение квадратов сохраняет порядок расстояний.

Как восстановить неизвестную высоту

Если известно d=13 м и горизонтальная проекция между точками имеет длину 5 м, то модуль вертикального изменения равен √(13²−5²)=√144=12 м. У результата два возможных направления: B может находиться выше A на 12 м либо ниже на 12 м, если условие не определяет направление. Само расстояние не сообщает знак разности z. Если вместо этого горизонтальная проекция равна 15 м при d=13 м, данных для действительного решения нет, потому что квадрат вертикального изменения получился бы отрицательным. Физическая модель исключает такой набор условий.

В пространственной формуле все три квадрата обязательны даже тогда, когда одна компонента равна нулю. Нулевая компонента означает лишь отсутствие смещения по соответствующей оси. Например, точки A(−7; −2; −1) и B(−7; 4; 7) имеют одинаковую x-координату, но расстояние между ними не нулевое. Оно равно √(0²+6²+8²)=10 единиц. Этот пример полезен для самопроверки после составления разностей координат.