Расстояние между скрещивающимися рёбрами куба для 11 класса — упражнения с разбором

Разбор по шагам, 11 класс. Для куба важны три разных взаимных положения рёбер: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Кратчайший отрезок между скрещивающимися прямыми должен быть перпендикулярен обеим.

Доказательство на одном кубе

Обозначим нижнюю грань ABCD по порядку, верхнюю — A₁B₁C₁D₁, ребро куба равно a>0. Для однозначности возьмём координаты A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), а все вершины с индексом 1 имеют z=a.

Рёбра AB и B₁C₁ не пересекаются и не параллельны: первое направлено вдоль Ox, второе — вдоль Oy. Отрезок BB₁ длины a направлен вдоль Oz и перпендикулярен каждому из них. Следовательно, d(AB,B₁C₁)=a. Это кратчайшее расстояние, а не длина произвольной пространственной диагонали.

Два метода подтверждения

1. Геометрический. В кубе три направления рёбер попарно перпендикулярны. Для двух скрещивающихся рёбер, направленных вдоль разных осей, соединяющий их отрезок третьего направления имеет длину a и перпендикулярен обеим прямым.
2. Координатный. Любые точки X на AB и Y на B₁C₁ имеют координаты X=(t;0;0), Y=(a;s;a), где 0≤t,s≤a. XY²=(a−t)²+s²+a²≥a². Равенство при t=a,s=0, то есть X=B, Y=B₁.

Первая ловушка: не все непересекающиеся рёбра скрещиваются

AB и A₁B₁ параллельны, их расстояние тоже a, но это другая ситуация. AB и C₁D₁ параллельны и расположены по диагонали квадратного поперечного сечения: их расстояние a√2. Рёбра AB и BC пересекаются в B; расстояние равно нулю. Формулу d=a для скрещивающихся рёбер нельзя распространять на любые две стороны куба.

Упражнения: распознай, докажи, вычисли

1. AB и B₁C₁. Классифицируй пару, укажи общий перпендикуляр и расстояние при a=4 см.
2. AB и CC₁. Найди общий перпендикуляр и расстояние при a=7 см.
3. AB и DD₁. Объясни, почему AD — общий перпендикуляр, и найди d при a=9 см.
4. AB и A₁D₁. Докажи скрещиваемость и найди d при a=5 см.
5. AB и CD. Какие прямые: параллельные или скрещивающиеся? Найди d при a=6 см.
6. AB и C₁D₁. Найди d при a=3 см и объясни отличие от случая скрещивающихся рёбер.
7. AB и BC. Каково расстояние? В какой вершине они встречаются?
8. AD и B₁C₁. Параллельны ли направления? Найди d при a=8 см.
9. BC и A₁B₁. Найди расстояние при a=11 см и подходящий общий перпендикуляр.
10. CD и BB₁. Найди расстояние при a=2 см.
11. BC и D₁A₁. Найди расстояние при a=10 см и классифицируй пару.
12. AA₁ и B₁C₁. Найди расстояние при a=12 см и укажи общий перпендикуляр.
13. Докажи, что при увеличении всех рёбер куба в 3 раза расстояние между заданной парой скрещивающихся рёбер возрастёт ровно в 3 раза.
14. Если расстояние между AB и B₁C₁ равно 7,5 см, чему равно ребро и объём куба?
15. Почему диагональ BC₁ длины a√2 нельзя считать расстоянием между AB и B₁C₁?
16. Можно ли получить расстояние a√2 между двумя скрещивающимися рёбрами одного куба? Приведи аргумент.
17. Что изменится в доказательстве, если вместо куба взять прямоугольный параллелепипед с длинами a, b, h?
18. Чем отличается вычисление расстояния между двумя скрещивающимися рёбрами от расстояния между отрезками, лежащими на их продолжениях?

Полные ответы и критерии

1. № 1. Скрещивающиеся; BB₁ общий перпендикуляр, d=4 см.
2. № 2. Скрещивающиеся; BC перпендикулярен и AB, и CC₁, d=7 см.
3. № 3. Скрещивающиеся; AD перпендикулярен AB и DD₁, d=9 см.
4. № 4. Скрещивающиеся; AA₁ общий перпендикуляр, d=5 см.
5. № 5. Параллельные, d=6 см (например, по BC).
6. № 6. Параллельные, d=3√2 см по диагонали BC₁: в поперечном сечении катеты по 3 см.
7. № 7. Пересекаются в B, d=0.
8. № 8. Оба ребра направлены вдоль Oy, значит параллельны; AD лежит при x=0,z=0, B₁C₁ при x=a,z=a, поэтому d=8√2 см.
9. № 9. Скрещивающиеся; BB₁ перпендикулярен BC и A₁B₁, d=11 см.
10. № 10. Скрещивающиеся; BC — общий перпендикуляр между CD и BB₁, d=2 см.
11. № 11. Параллельные вдоль Oy, d=10√2 см, поскольку сдвиг одновременно вдоль Ox и Oz.
12. № 12. Скрещивающиеся; A₁B₁ общий перпендикуляр между AA₁ и B₁C₁, d=12 см.
13. № 13. Все длины масштабируются в 3 раза; перпендикуляр остаётся перпендикуляром, d′=3a (то есть втрое больше).
14. № 14. a=7,5 см, V=a³=421,875 см³.
15. № 15. BC₁=√(a²+a²)=a√2, но направление BC₁=(0;a;a) имеет ненулевую составляющую вдоль Oy, поэтому отрезок не перпендикулярен ребру B₁C₁. Общий перпендикуляр BB₁ имеет длину a.
16. № 16. Нет, любые скрещивающиеся рёбра куба идут вдоль двух разных координатных направлений; общий перпендикуляр вдоль третьего имеет длину a.
17. № 17. Метод тот же, но общий перпендикуляр может иметь длину a, b или h в зависимости от двух направлений исходных рёбер; универсального d=a больше нет.
18. № 18. Для этих пар рёбер куба ближайшие точки общего перпендикуляра лежат на самих рёбрах, поэтому расстояния равны. Для произвольных отрезков на скрещивающихся прямых это может быть неверно: ближайшая пара точек иногда попадает на концы отрезков.

Как не ошибиться на рисунке

• Сначала сравни направления рёбер. Разные направления сами по себе не гарантируют скрещиваемость: рёбра могут иметь общую вершину.
• Затем найди отрезок, перпендикулярный обоим рёбрам одновременно; не выбирай красивую, но наклонную диагональ.
• Если пара параллельна, задача другая: расстояние измеряется в поперечном сечении, иногда оно a√2.
• Результат — длина, указывается в сантиметрах; объём (в задаче № 14) имеет кубические единицы.

Дополнительная проверка: классификация без рисунка

Преобразуем куб в координатную модель. Ребро AB задаётся точками (t;0;0) с 0≤t≤a. Любое ребро, направленное вдоль Ox, параллельно AB или совпадает с ним; ребро вдоль Oy или Oz либо пересекает AB в общей вершине, либо скрещивается с AB. Для проверки не нужно мысленно поворачивать куб: достаточно сравнить направления и проверить наличие общей точки.

Система координат одновременно позволяет отличать расстояния между прямыми и ограниченными рёбрами. В задачах с рёбрами самого куба отрезок общего перпендикуляра действительно соединяет две точки на рёбрах. В более общем случае для отрезков это не гарантируется, поэтому нельзя без проверки применять формулу расстояния между их бесконечными продолжениями. Сначала доказывается существование нужного перпендикуляра с концами на заданных отрезках, после чего его длина и будет ответом.

Три задачи на перенос метода — № 19–21

19. У прямоугольного параллелепипеда AB=3 см, BC=4 см, AA₁=5 см. Найди отдельно d(AB,B₁C₁) и d(AB,CC₁). Как различаются ответы?
20. В том же параллелепипеде найди расстояние между параллельными AD и B₁C₁. Почему результат не равен ни 3, ни 5 см?
21. Сколько из 12 рёбер куба скрещиваются с выбранным AB? Выпиши их и проверь подсчёт по группам: само AB, пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся.

Ключ к заданиям на перенос

19. № 19. Для AB и B₁C₁ общий перпендикуляр BB₁, поэтому d=5 см. Для AB и CC₁ общий перпендикуляр BC, поэтому d=4 см. Длины различаются, поскольку направления общих перпендикуляров разные.
20. № 20. Параллельные рёбра AD и B₁C₁ удалены друг от друга одновременно на 3 см по Ox и на 5 см по Oz; d=√(3²+5²)=√34 см. Это диагональ поперечного прямоугольника.
21. № 21. Четыре: A₁D₁, B₁C₁, CC₁ и DD₁. Проверка счёта: одно AB, четыре пересекаются с AB в A или B, три отличных от AB параллельны ему, остальные четыре скрещиваются: 1+4+3+4=12.

Смысл вывода: скрещивающиеся рёбра не должны пересекаться и не должны быть параллельны, а их кратчайший соединяющий отрезок в кубе всегда направлен вдоль третьей координатной оси. Если в задаче появляется диагональ поперечной грани, проверь классификацию пары: чаще всего речь о двух параллельных рёбрах.