Расстояние от точки до плоскости на модели прямой призмы: задачи и решения для 11 класса

Тематический тренажёр, 11 класс. Здесь рассматриваем расстояние до плоскости, в том числе наклонной к основанию прямой призмы. В отличие от поиска расстояния до ограниченной грани, основание перпендикуляра может находиться за пределами изображённой грани.

Памятка и единая координатная модель

Прямоугольная прямая призма: 0≤x≤6, 0≤y≤8, 0≤z≤12, единица длины — 1 см. Для плоскости Ax+By+Cz+D=0 расстояние от P(x₀;y₀;z₀) равно |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²). Знаменатель положителен: хотя бы один коэффициент A, B, C отличен от нуля.

В упражнениях используются три плоскости: основание z=0, вертикальная диагональная плоскость 4x+3y−24=0, проходящая через противоположные вершины основания (6;0) и (0;8), и наклонная 2x−z=0, проходящая через нижнюю и верхнюю грани по параллельным рёбрам. Для второй плоскости нормаль (4;3;0) имеет длину 5, для третьей — (2;0;−1) имеет длину √5.

Серия I. Расстояние до оснований — № 1–6

1. P=(1;2;3), до z=0
2. P=(5;1;10), до z=12
3. P=(0;7;0), до z=0
4. P=(2;2;12), до z=0
5. P=(6;8;7), до z=12
6. P=(4;6;1), до z=0

Серия II. До вертикальной диагональной плоскости — № 7–16

Для всех задач этой серии d=|4x+3y−24|/5. Подставляй x и y; координата z не влияет. При равенстве выражения нулю точка лежит в плоскости.

7. P=(1;2;5). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
8. P=(3;4;8). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
9. P=(6;0;9). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
10. P=(0;8;4). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
11. P=(2;4;6). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
12. P=(5;3;1). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
13. P=(1;6;7). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
14. P=(4;0;11). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
15. P=(0;3;0). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.
16. P=(5;8;12). Найди расстояние до плоскости 4x+3y−24=0.

Серия III. До наклонной плоскости — № 17–24

Для задач этой серии d=|2x−z|/√5. Если нужно, рационализируй знаменатель: например, 1/√5=√5/5. Не подменяй искомую длину вертикальной разностью координат.

17. P=(1;1;1). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
18. P=(2;4;4). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
19. P=(3;2;5). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
20. P=(4;3;8). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
21. P=(5;7;12). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
22. P=(6;0;9). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
23. P=(0;4;6). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.
24. P=(3;5;9). Найди расстояние до плоскости 2x−z=0.

Ответы к трём сериям

Серия I

1. № 1. 3 см: |3|.
2. № 2. 2 см: |10−12|.
3. № 3. 0 см: точка лежит в плоскости.
4. № 4. 12 см: |12|.
5. № 5. 5 см: |7−12|.
6. № 6. 1 см: |1|.

Серия II

7. № 7. |4·1+3·2−24|/5=|-14|/5=14/5 см. Координата z не входит в уравнение.
8. № 8. |4·3+3·4−24|/5=|0|/5=0 см. Координата z не входит в уравнение.
9. № 9. |4·6+3·0−24|/5=|0|/5=0 см. Координата z не входит в уравнение.
10. № 10. |4·0+3·8−24|/5=|0|/5=0 см. Координата z не входит в уравнение.
11. № 11. |4·2+3·4−24|/5=|-4|/5=4/5 см. Координата z не входит в уравнение.
12. № 12. |4·5+3·3−24|/5=|5|/5=1 см. Координата z не входит в уравнение.
13. № 13. |4·1+3·6−24|/5=|-2|/5=2/5 см. Координата z не входит в уравнение.
14. № 14. |4·4+3·0−24|/5=|-8|/5=8/5 см. Координата z не входит в уравнение.
15. № 15. |4·0+3·3−24|/5=|-15|/5=3 см. Координата z не входит в уравнение.
16. № 16. |4·5+3·8−24|/5=|20|/5=4 см. Координата z не входит в уравнение.

Серия III

17. № 17. |2·1−1|/√5=1√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
18. № 18. |2·2−4|/√5=0 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
19. № 19. |2·3−5|/√5=1√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
20. № 20. |2·4−8|/√5=0 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
21. № 21. |2·5−12|/√5=2√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
22. № 22. |2·6−9|/√5=3√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
23. № 23. |2·0−6|/√5=6√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.
24. № 24. |2·3−9|/√5=3√5/5 см; y не влияет, нормаль имеет длину √5.

Типичные ошибки и контроль

• Неверно искать длину наклонного отрезка вместо кратчайшего перпендикуляра.
• Путать расстояние до плоскости и до ограниченного прямоугольника-грани: формула относится к бесконечной плоскости.
• Забывать модуль: расстояние всегда ≥0, даже если значение линейного выражения отрицательно.
• Делить на квадрат суммы коэффициентов вместо корня из суммы квадратов.

Самопроверка единиц: координаты заданы в сантиметрах, коэффициенты при x,y,z — безразмерны, следовательно, d измеряется в сантиметрах. При подстановке точки, лежащей на плоскости, числитель равен нулю и d=0.