Расстояние от точки до плоскости в прямой призме: примеры и объяснения для 10 класса

10 класс. Отрабатываем именно перпендикулярное расстояние от точки до плоскости внутри прямой призмы. Все числовые ответы сопровождаются единицами.

Стартовая диагностика: что считать расстоянием?

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра к плоскости, а не произвольного наклонного отрезка. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Для боковой грани расстояние измеряется в направлении, перпендикулярном самой боковой грани.

В задачах 1–15 рассматриваем прямоугольную прямую призму: основание 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, высота 0 ≤ z ≤ h, координаты измеряются в сантиметрах. Грани имеют уравнения x=0, x=a, y=0, y=b, z=0, z=h.

Выбери и объясни — задания 1–3

1. Точка P=(2;3;4), основание z=0. Какая длина — 2, 3, 4 или √29 см — равна расстоянию от P до основания?
2. Точка P=(2;3;4), грань x=0. Можно ли использовать вертикальный отрезок длиной 4 см как перпендикуляр к этой грани?
3. Для грани y=b какое выражение даёт расстояние до точки P=(x;y;z) внутри призмы: b−y, h−z, x+y или √(x²+y²)?

Вычисли без рисунка — задания 4–15

4. Размеры призмы a=6, b=8, h=10 см, P=(2;3;4). Найди расстояние до плоскости z=0. Запиши направление перпендикуляра.
5. Размеры призмы a=7, b=9, h=12 см, P=(5;4;8). Найди расстояние до плоскости x=0. Запиши направление перпендикуляра.
6. Размеры призмы a=8, b=5, h=11 см, P=(3;2;9). Найди расстояние до плоскости y=5. Запиши направление перпендикуляра.
7. Размеры призмы a=12, b=6, h=9 см, P=(7;1;6). Найди расстояние до плоскости x=12. Запиши направление перпендикуляра.
8. Размеры призмы a=9, b=7, h=13 см, P=(2;6;5). Найди расстояние до плоскости z=13. Запиши направление перпендикуляра.
9. Размеры призмы a=10, b=12, h=8 см, P=(4;7;3). Найди расстояние до плоскости y=0. Запиши направление перпендикуляра.
10. Размеры призмы a=5, b=14, h=9 см, P=(1;10;2). Найди расстояние до плоскости x=5. Запиши направление перпендикуляра.
11. Размеры призмы a=11, b=8, h=15 см, P=(6;5;7). Найди расстояние до плоскости z=0. Запиши направление перпендикуляра.
12. Размеры призмы a=15, b=9, h=6 см, P=(13;8;2). Найди расстояние до плоскости y=9. Запиши направление перпендикуляра.
13. Размеры призмы a=14, b=10, h=12 см, P=(11;3;6). Найди расстояние до плоскости x=0. Запиши направление перпендикуляра.
14. Размеры призмы a=18, b=11, h=10 см, P=(4;9;1). Найди расстояние до плоскости z=10. Запиши направление перпендикуляра.
15. Размеры призмы a=9, b=15, h=7 см, P=(6;4;5). Найди расстояние до плоскости x=9. Запиши направление перпендикуляра.

Задание 16. Боковая грань треугольной призмы

В прямой призме основание — прямоугольный треугольник A(0;0;0), B(6;0;0), C(0;8;0), верхнее основание лежит в плоскости z=10. Найди расстояние от A до плоскости боковой грани BCC₁B₁. Объясни, почему высота 10 см не входит в ответ.

Лист ответов и разбор

1. 4 см: перпендикуляр к z=0 направлен вдоль Oz, его длина |4|.
2. Нет. Направление Oz параллельно плоскости x=0; перпендикуляр к ней направлен вдоль Ox, расстояние 2 см.
3. b−y при 0≤y≤b, поскольку расстояние до y=b есть |b−y|.

4. 4 см: расстояние вдоль оси z равно 4 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
5. 5 см: расстояние вдоль оси x равно 5 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
6. 3 см: расстояние вдоль оси y равно 5−2 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
7. 5 см: расстояние вдоль оси x равно 12−7 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
8. 8 см: расстояние вдоль оси z равно 13−5 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
9. 7 см: расстояние вдоль оси y равно 7 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
10. 4 см: расстояние вдоль оси x равно 5−1 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
11. 7 см: расстояние вдоль оси z равно 7 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
12. 1 см: расстояние вдоль оси y равно 9−8 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
13. 11 см: расстояние вдоль оси x равно 11 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
14. 9 см: расстояние вдоль оси z равно 10−1 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.
15. 3 см: расстояние вдоль оси x равно 9−6 см; две остальные координаты не изменяются при опускании перпендикуляра.

16. Боковая грань вертикальна, а её след в основании — BC: 4x+3y=24. Перпендикуляр от A к этой плоскости лежит в основании, поэтому d=|4·0+3·0−24|/√(4²+3²)=24/5=4,8 см. Высота призмы влияет на протяжённость грани, но не на расстояние от точки A до содержащей её вертикальной плоскости.

Три частые ошибки

• Подмена расстояния диагональю: пространственная диагональ не обязана быть перпендикуляром к выбранной плоскости.
• Путаница граней: до основания ищем изменение z, до боковых плоскостей x=const или y=const — соответствующую горизонтальную координату.
• Неверный знак за пределами призмы: для произвольной внешней точки требуются модули |x−x₀|, |y−y₀|, |z−z₀|.

Самопроверка: в задачах с координатами ответ — неотрицательная длина в сантиметрах. Описанный способ работает для расстояния до бесконечной плоскости грани; расстояние до ограниченной прямоугольной грани как множества точек — отдельная задача.