Рационализация выражения через тангенс половинного угла — рабочий лист для 10 класса

Практический кейс: угол направления и проекции

В модели направленного луча длиной L (например, лазерного указателя в математической задаче) горизонтальная проекция равна L·cos x, вертикальная — L·sin x. Иногда удобно получить не сам угол x, а параметр t=tg(x/2) и выразить всё рационально через t. Это способ вычисления, а не отдельный физический закон.

Исходные данные

Математическая модель и ограничения

Подстановка t=tg(x/2) даёт sin x=2t/(1+t²), cos x=(1−t²)/(1+t²). При действительном t знаменатель 1+t² всегда положителен. Но t не существует для x=(2k+1)π (например, 180°); это НЕ означает, что исходные sin x или cos x в этой точке отсутствуют.

Дополнительное равенство tg x=2t/(1−t²) допустимо только при t≠±1, то есть при cos x≠0. При преобразовании дробей проверяйте также знаменатель исходной дроби до сокращения.

Разобранный опыт А

При t=3/4: sin x=(3/2)/(25/16)=24/25, cos x=(7/16)/(25/16)=7/25. Тогда вертикальная проекция 10·24/25=9,6 м, горизонтальная 10·7/25=2,8 м. Проверка длины: (9,6 м)²+(2,8 м)²=100 м²=(10 м)².

12 связанных заданий

1. t=1/3. Найдите sin x и cos x.
2. t=2. Найдите sin x, cos x.
3. t=−1/2. Определите sin x и cos x.
4. x=60°. Вычислите t и восстановите sin x, cos x.
5. x=120°. Найдите t, sin x, cos x.
6. x=180°. Может ли реальная величина t быть использована?
7. Рационализируйте (1−cos x)/sin x.
8. Рационализируйте sin x/(1+cos x).
9. Выразите (1+cos x)/sin x через t.
10. Выразите tg x через t.
11. t=1. Чему равен tg x?
12. При длине луча 10 м и t=3/4 найдите горизонтальную и вертикальную проекции.

Ключ и проверка допустимости

1. 1. sin x=3/5; cos x=4/5. Проверка: 9/25+16/25=1.
2. 2. sin x=4/5; cos x=−3/5. Проверка: 16/25+9/25=1.
3. 3. sin x=−4/5; cos x=3/5; сумма квадратов равна 1.
4. 4. t=tg30°=1/√3; sin x=√3/2, cos x=1/2.
5. 5. t=tg60°=√3; sin x=√3/2, cos x=−1/2.
6. 6. Нет: tg90° не определён. При этом исходные sin180°=0, cos180°=−1 существуют; случай проверяют отдельно.
7. 7. t, но при sin x≠0; дополнительно x≠(2k+1)π для определения t. При t=0 исходная дробь не определена.
8. 8. t при 1+cos x≠0. Точки x=(2k+1)π запрещены и в исходной дроби.
9. 9. 1/t, на исходной ОДЗ sin x≠0; значит t≠0 и t должен быть определён.
10. 10. 2t/(1−t²). Требуется cos x≠0, то есть t≠±1; также t должен быть определён.
11. 11. tg x не определён, поскольку cos x=(1−1)/(1+1)=0. sin x=1.
12. 12. cos x=(1−9/16)/(1+9/16)=7/25; sin x=(3/2)/(25/16)=24/25. Горизонтальная = 10·7/25=2,8 м, вертикальная = 10·24/25=9,6 м; сумма квадратов 7,84+92,16=100 м².

Работа с таблицей без обратного вычисления угла

В опыте Б таблица даёт t=−1/2. Следовательно, sin x=2(−1/2)/(1+1/4)=−4/5, cos x=(1−1/4)/(1+1/4)=3/5. Для луча длиной 10 м горизонтальная проекция 6 м, вертикальная −8 м. Знак минус относится к направлению вниз относительно выбранной оси. Длина самого луча по-прежнему 10 м: 6²+(−8)²=100.

В опыте В известен угол 180°. Попытка применить t=tg90° приводит к неопределённости. Однако можно вернуться к геометрическому определению: cos180°=−1, sin180°=0. У луча длиной 10 м горизонтальная проекция −10 м и вертикальная 0 м. Такое решение не нарушает ограничений, потому что не использует t.

Откуда берутся рациональные формулы

Обозначим u=x/2. Формула двойного угла даёт sin x=2sin u cos u, а cos x=cos²u−sin²u. Делим числители и знаменатель на cos²u (только когда cos u≠0), получаем sin x=2tg u/(1+tg²u) и cos x=(1−tg²u)/(1+tg²u). Подставив t=tg u, получаем использованные дроби. Запрет cos u=0 отвечает случаям x=(2k+1)π.

Для тангенса полного угла нужна ещё одна проверка: tg x=sin x/cos x. После замены получается 2t/(1−t²). При t=1 или t=−1 знаменатель обращается в ноль; именно эти точки отвечают косинусу полного угла, равному нулю. При числовых задачах полезно выписывать две строки: «t существует?» и «исходное выражение определено?». Они не всегда совпадают.

Сверка исходных единиц в прикладном кейсе

Величины sin x, cos x и t относятся к отношениям длин, поэтому безразмерны. Числовое значение 0,8 для sin x нельзя записывать как «0,8 м»; единица метра появляется лишь после умножения на длину L. При проверке квадраты проекций складываются в м², а затем квадратный корень возвращает метры.

Дроби 7/25 и 24/25 из опыта А образуют пифагорову пару: 7²+24²=25². Аналогично в опыте Б пара 3/5 и −4/5 удовлетворяет 3²+(−4)²=5². Этот контроль особенно полезен для обнаружения неверного знака у косинуса при |t|>1: тогда числитель 1−t² отрицателен.

Два особых случая, которые нельзя пропускать

Угол 180° даёт допустимые исходные значения sin x=0 и cos x=−1, но не представим конечным t. Угол 90° соответствует t=1: синус и косинус вычисляются, однако tg x не существует. Так различаются ограничение вспомогательной подстановки и ограничение первоначального выражения.

Проверка размерностей и самоконтроль

Параметр t, sin x и cos x безразмерны. Проекции при умножении на L измеряются в метрах; сумма их квадратов — в квадратных метрах. Для опытов с действительным t всегда должна выполняться формула sin²x+cos²x=1. Отрицательная проекция указывает направление, а не отрицательную длину самого луча.

Оценивание: 1 балл за правильную алгебраическую подстановку, 1 — за итоговый результат, 1 — за проверку ограничений там, где они возникают. В прикладном задании №12 отдельно оцениваются единицы и контроль теоремой Пифагора. Если решение использует t при x=180°, оно неверно, даже если исходные синус и косинус рассчитаны правильно.