Равенство модулей двух линейных выражений — карточки с ответами, 11 класс

Принцип: |A(x)|=|B(x)| равносильно двум линейным уравнениям A(x)=B(x) или A(x)=−B(x). Обе ветви надо решить, а затем объединить множества корней, удалив повторы. Если одна ветвь превратилась в 0=0, она верна при любом x; если в 0=c≠0 — не имеет корней.

Пользуемся формой A(x)=px+q и B(x)=rx+s. Ветвь «плюс»: (p−r)x=s−q; ветвь «минус»: (p+r)x=−s−q. Этот приём работает при любых действительных коэффициентах, включая нули; ОДЗ — все действительные x, поскольку модуль линейного выражения определён всюду.

Содержание статьи6 разделов

Пограничные случаи до практикума

  • |x+1|=|x+1| — любое действительное x: две ветви объединяются и не ограничивают x.
  • |2|=|3| — решений нет; выражения постоянны и модули не равны.
  • |x+2|=|x−2| имеет единственный корень x=0: пересечение ветвей может дать одно значение.
  • |2x|=|−2x| верно при любом x, поэтому нельзя утверждать, что у любого равенства модулей максимум два корня без оговорки про тождество.

Уровень 1 — базовые равенства (№ 1–8)

  1. |2x+3|=|x-5|. Запишите обе линейные ветви. __________
  2. |3x-4|=|x+6|. Запишите обе линейные ветви. __________
  3. |−x+2|=|2x-1|. Запишите обе линейные ветви. __________
  4. |4x+1|=|x-8|. Запишите обе линейные ветви. __________
  5. |2x-7|=|−x+2|. Запишите обе линейные ветви. __________
  6. |5x-1|=|3x+7|. Запишите обе линейные ветви. __________
  7. |x+5|=|x+5|. Запишите обе линейные ветви. __________
  8. |2|=|3|. Запишите обе линейные ветви. __________

Уровень 2 — отрицательные коэффициенты и константы (№ 9–16)

  1. |2x-3|=|9|. Найдите все разные корни. __________
  2. |5|=|x-4|. Найдите все разные корни. __________
  3. |3x+6|=|-3x-6|. Найдите все разные корни. __________
  4. |7x-2|=|2x+8|. Найдите все разные корни. __________
  5. |4x-11|=|x+1|. Найдите все разные корни. __________
  6. |3x|=|-2x+5|. Найдите все разные корни. __________
  7. |2x+8|=|-3x-7|. Найдите все разные корни. __________
  8. |5x+10|=|5x-2|. Найдите все разные корни. __________

Уровень 3 — доказательство полноты ответа (№ 17–24)

  1. |6x-5|=|4x+3|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  2. |4x+12|=|-2x|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  3. |7x+7|=|x-5|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  4. |8x-3|=|3x+2|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  5. |2x|=|0|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  6. |3x-9|=|x-3|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  7. |4x-1|=|4x+5|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________
  8. |-6|=|2x|. Обоснуйте число корней; учтите тождества. __________

Подробный ключ (24 задачи)

№ Решение и результат
1 x=-8, 2/3. Ветви: (1)x=-8 и (3)x=2. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
2 x=-1/2, 5. Ветви: (2)x=10 и (4)x=-2. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
3 x=-1, 1. Ветви: (-3)x=-3 и (1)x=-1. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
4 x=-3, 7/5. Ветви: (3)x=-9 и (5)x=7. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
5 x=3, 5. Ветви: (3)x=9 и (1)x=5. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
6 x=-3/4, 4. Ветви: (2)x=8 и (8)x=-6. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
7 все x∈ℝ: хотя бы одна ветвь — тождество.
8 корней нет: обе ветви дают противоречия.
9 x=-3, 6. Ветви: (2)x=12 и (2)x=-6. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
10 x=-1, 9. Ветви: (-1)x=-9 и (1)x=-1. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
11 все x∈ℝ: хотя бы одна ветвь — тождество.
12 x=-2/3, 2. Ветви: (5)x=10 и (9)x=-6. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
13 x=2, 4. Ветви: (3)x=12 и (5)x=10. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
14 x=-5, 1. Ветви: (5)x=5 и (1)x=-5. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
15 x=-3, 1. Ветви: (5)x=-15 и (-1)x=-1. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
16 x=-4/5. Ветви: (0)x=-12 и (10)x=-8. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
17 x=1/5, 4. Ветви: (2)x=8 и (10)x=2. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
18 x=-6, -2. Ветви: (6)x=-12 и (2)x=-12. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
19 x=-2, -1/4. Ветви: (6)x=-12 и (8)x=-2. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
20 x=1/11, 1. Ветви: (5)x=5 и (11)x=1. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
21 x=0. Ветви: (2)x=0 и (2)x=0. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
22 x=3. Ветви: (2)x=6 и (4)x=12. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
23 x=-1/2. Ветви: (0)x=6 и (8)x=-4. Повторяющиеся корни учитываем один раз.
24 x=-3, 3. Ветви: (-2)x=6 и (2)x=6. Повторяющиеся корни учитываем один раз.

Подробный разбор сложных случаев

В задаче № 8 обе стороны постоянны и не равны: |2|=|3| неверно при всех x. Обе ветви превращаются в ложные равенства. В задаче № 7 две стороны полностью совпадают, значит каждое x — решение; записывать только x=−5 недостаточно.

В задаче № 21 равенство |2x|=|0| означает 2x=0: единственный корень x=0, хотя обе ветви формально его дают. В задаче № 16 одинаковые наклоны в двух выражениях не означают отсутствия решений: противоположная ветвь может породить один корень.

Ветви не являются дополнительными ограничениями: достаточно выполнения хотя бы одной. Если после решения получилось две разные точки, обе нужно проверить в исходном равенстве, а не только в промежуточной линейной записи. В школьной записи аккуратно используйте логическое «или», а не «и».

Оценивание: 1 балл за корректное разделение на две ветви и 1 балл за полный набор корней в каждой задаче. Максимум 48 баллов. Ответ без разбора случая 0x=0 или без исключения повторного корня считается неполным.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым