Разбиение области на части для симметричной криволинейной фигуры: тренажёр для 11 класса

Класс: 11. Две контрастные серии: симметричное разбиение области.

Рассматриваются два разных механизма. В первом симметричная «линза» целиком лежит между верхней и нижней кривой. Во втором график пересекает ось внутри симметричного отрезка, и отрицательные участки требуют дополнительного разбиения. Удвоение работает только после обоснования симметрии геометрических частей.

Содержание статьи4 раздела

Вариант А — линза между чётной кривой и горизонталью

Пусть y = r² − x², y = 0 и −r ≤ x ≤ r. В точках x = ±r кривые встречаются; при x=0 расстояние между ними максимально. Чтобы проверить собственное решение, вычислите площадь левой половины и убедитесь, что она равна правой. Не делите область по произвольному x=1: это нарушит равенство частей.

Задание 1. Кривые 1 − x^2 и 0. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 2. Кривые 5 − x^2 и 1. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 3. Кривые 9 − x^2 и 0. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 4. Кривые 33 − 2·x^2 и 1. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 5. Кривые 14 − 3·x^2 и 2. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 6. Кривые 22 − 2·x^2 и 4. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 7. Кривые 7 − 4·x^2 и 3. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Задание 8. Кривые 18 − x^2 и 2. Найдите точки пересечения; разрежьте область осью Oy на две равные части и вычислите площадь одной и обеих частей.

Вариант Б — симметрия остаётся, а знак меняется

Здесь область задаётся графиком y = x² − r² и осью Ox в симметричной полосе [−L;L], причём L > r. Сначала отмечают −r, r, затем разбивают на три части. Левая внешняя площадь равна правой; центральная лежит ниже Ox. Повторный счёт исключают записью S = 2·(площадь правой внешней части) + (площадь центральной части).

Задание 9. На [−2; 2] график x^2 − 1 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 10. На [−3; 3] график x^2 − 1 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 11. На [−3; 3] график x^2 − 4 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 12. На [−4; 4] график 2·x^2 − 8 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 13. На [−4; 4] график 2·x^2 − 2 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 14. На [−4; 4] график x^2 − 9 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 15. На [−5; 5] график x^2 − 4 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Задание 16. На [−5; 5] график 2·x^2 − 18 пересекает Ox дважды. Разбейте фигуру и найдите отдельно внешнюю часть, центральную часть и общую площадь.

Взаимная проверка вариантов

Проверяющий А оценивает ответ Б по трём пунктам: оба нуля, знак на каждой части и неотрицательность суммарной площади. Проверяющий Б оценивает ответ А по двум пунктам: доказанная чётность разности и правильный множитель 2. Если кто-то предлагает удвоить интеграл, не проверив чётность, попросите объяснить, почему левая и правая половины равны.

Ответы и проверенные решения

1. Ответ: x=±1; половина 2/3; вся S = 4/3 кв. ед..

Обоснование: Разность = 1 − x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤1. Точки x=±1. Одна половина: ∫₀^1 1 − x^2dx = 2/3. Вся площадь S=2·2/3=4/3.

2. Ответ: x=±2; половина 16/3; вся S = 32/3 кв. ед..

Обоснование: Разность = 4 − x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤2. Точки x=±2. Одна половина: ∫₀^2 4 − x^2dx = 16/3. Вся площадь S=2·16/3=32/3.

3. Ответ: x=±3; половина 18; вся S = 36 кв. ед..

Обоснование: Разность = 9 − x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤3. Точки x=±3. Одна половина: ∫₀^3 9 − x^2dx = 18. Вся площадь S=2·18=36.

4. Ответ: x=±4; половина 256/3; вся S = 512/3 кв. ед..

Обоснование: Разность = 32 − 2·x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤4. Точки x=±4. Одна половина: ∫₀^4 32 − 2·x^2dx = 256/3. Вся площадь S=2·256/3=512/3.

5. Ответ: x=±2; половина 16; вся S = 32 кв. ед..

Обоснование: Разность = 12 − 3·x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤2. Точки x=±2. Одна половина: ∫₀^2 12 − 3·x^2dx = 16. Вся площадь S=2·16=32.

6. Ответ: x=±3; половина 36; вся S = 72 кв. ед..

Обоснование: Разность = 18 − 2·x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤3. Точки x=±3. Одна половина: ∫₀^3 18 − 2·x^2dx = 36. Вся площадь S=2·36=72.

7. Ответ: x=±1; половина 8/3; вся S = 16/3 кв. ед..

Обоснование: Разность = 4 − 4·x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤1. Точки x=±1. Одна половина: ∫₀^1 4 − 4·x^2dx = 8/3. Вся площадь S=2·8/3=16/3.

8. Ответ: x=±4; половина 128/3; вся S = 256/3 кв. ед..

Обоснование: Разность = 16 − x^2, она чётная и неотрицательна при |x|≤4. Точки x=±4. Одна половина: ∫₀^4 16 − x^2dx = 128/3. Вся площадь S=2·128/3=256/3.

9. Ответ: внешняя 4/3, центральная 4/3; S = 4 кв. ед..

Обоснование: Нули −1 и 1. Наружные участки равны из-за чётности функции: каждый 4/3. Центральный участок берётся со знаком минус под интегралом и равен 4/3. Сумма 2·4/3 + 4/3 = 4.