Разбор типичных ошибок: площадь сектора круга по центральному углу — 9 класс

9 класс · короткая диагностика · 14 заданий. Сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой. Учебная цель: выбрать формулу площади, не перепутать её с длиной дуги и правильно обращаться с единицами измерения. Задания построены вокруг таблицы ошибок; вычисления занимают меньше времени, чем их разбор.

Две формулы, одна развилка

Радиус в квадрате появляется только в формуле площади. Полный круг соответствует α = 360°, значит S = πR². При α = 90° сектор равен четверти площади круга. Геометрический чертёж стоит подписывать градусами и радиусом до вычисления: это уменьшает риск перепутать величины.

Таблица самостоятельных вычислений

1. R = 6 см, α = 90°. Найдите площадь сектора в см².
2. R = 8 см, α = 45°. Найдите площадь сектора в см².
3. R = 10 см, α = 72°. Найдите площадь сектора в см².
4. R = 12 см, α = 30°. Найдите площадь сектора в см².
5. R = 5 см, α = 180°. Найдите площадь сектора в см².
6. R = 3 см, α = 120°. Найдите площадь сектора в см².
7. R = 9 см, α = 40°. Найдите площадь сектора в см².
8. R = 7 см, α = 360°. Найдите площадь сектора в см².

Полезно сначала вычислить долю полного круга, затем площадь. Например, угол 45° равен 1/8 полного оборота. Так можно получить число, даже если забыта запись общего выражения. Запишите отдельной строкой размерность результата — квадратные сантиметры.

Проверьте метод, а не только число

9. Сектор имеет площадь 4π см² и центральный угол 90°. Найдите радиус.
10. R = 6 см, S сектора = 18π см². Найдите центральный угол.
11. Два сектора имеют одинаковые углы 90°, но радиусы 4 и 8 см. Во сколько раз второй больше по площади?
12. Площадь круга 36π см². Найдите угол сектора площадью 12π см².
13. Ученик для сектора R = 6 см и α = 90° получил 3π, подставив πRα/180. Почему это ошибка и каков правильный ответ?
14. Один сектор имеет R = 4 см и α = 270°, другой — тот же радиус и 90°. Найдите разность площадей.

В заданиях 9–12 требуется обратный ход: если дана площадь части круга, найдите сначала долю от полной площади. В 13-м важно заметить, что формула с R, а не с R² даёт величину другой физической размерности. Последний пункт проверяет не саму подстановку, а умение сравнивать части одного круга.

Квадратные единицы обязательно сохраняйте в результате. При 360° ответ должен совпасть с площадью полного круга; при 180° — быть её половиной. В сравнительной задаче удвоение радиуса при неизменном угле увеличивает площадь вчетверо.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Таблица вычислений

1. 9π см²: S = π · 6² · 90/360.
2. 8π см²: S = π · 8² · 45/360.
3. 20π см²: S = π · 10² · 72/360.
4. 12π см²: S = π · 12² · 30/360.
5. 25π/2 см²: S = π · 5² · 180/360.
6. 3π см²: S = π · 3² · 120/360.
7. 9π см²: S = π · 9² · 40/360.
8. 49π см²: S = π · 7² · 360/360.

Контроль ошибок и обратные задачи

9. 4 см. Из πR²/4 = 4π получаем R² = 16; R положителен.
10. 180°. Весь круг: 36π см²; сектор занимает половину.
11. В 4 раза: площади 4π и 16π см². Площадь зависит от квадрата радиуса.
12. 120°. Сектор занимает треть круга, значит 360°/3.
13. Он вычислил длину дуги (3π см), а не площадь. Правильно S = π · 6² · 90/360 = 9π см².
14. 8π см². Площади равны 12π и 4π см², разность 8π см².

Самоконтроль. На 1–8 отведите по баллу, на 9–12 по два, на 13–14 по два. Максимум 20. Решение считается верным, когда указан подходящий закон, итоговая единица площади и нет подмены искомого сектора дополнительным. Если ошибка повторяется, возьмите угол 360°: формула обязана дать полную площадь πR².