Разбор типичных ошибок: признак делимости на 11 в заданиях с цифрами — 6 класс

Эта работа построена вокруг ошибки, которая почти не встречается в признаках делимости на 2 или 5: при делимости на 11 важен не отдельный разряд и не обычная сумма цифр, а чередующаяся сумма. Шестиклассник сначала исследует ситуацию с цифровым кодом, затем переводит её в вычислительную модель и проверяет правило на новых числах.

Практическая ситуация: код и контроль числа

В школьной мастерской инвентарные коды должны делиться на 11 без остатка. Сотрудник предложил проверять сумму всех цифр, как при признаке на 3. Это неверная модель. Для числа 57244 правильно вычислить 5 − 7 + 2 − 4 + 4 = 0; разность кратна 11, значит весь код делится на 11. Для 57243 получается −1, и делимости нет.

Проверять можно и через две суммы: разложите цифры по чередующимся позициям, сложите отдельно, затем возьмите разность. Для числа из пяти цифр позиции 1, 3, 5 входят в первую сумму, 2, 4 — во вторую. Разность может быть отрицательной: например, −11 также делится на 11.

Запомните: кратными 11 являются …, −22, −11, 0, 11, 22, … . Нуль в этой проверке — правильный результат, а не исключение. Позиции отсчитывайте последовательно, не пропуская нули внутри числа.

Модель. Применяем признак к инвентарным кодам

Для каждого числа вычислите чередующуюся сумму, затем сделайте вывод. Вместо деления в столбик сначала используйте признаки.

Обнаружьте ошибку в чужом рассуждении

Чужие объяснения намеренно содержат либо неверный признак, либо некорректный порядок действий. Перепишите решение правильно.

11. «Число 242 делится на 11, потому что сумма цифр равна 8». Что неверно? Ответ: ________________
12. «Число 1210 не делится на 11: 1+2+1+0=4». Исправь. Ответ: ________________
13. «Число 3905 делится на 11, потому что его последняя цифра 5». Исправь. Ответ: ________________
14. «Число 2323 не делится: разность чередующихся сумм отрицательна». Исправь. Ответ: ________________
15. «При проверке 814 он выкинул нуль, которого нет, и получил 8+1+4=13». Запиши верную сумму. Ответ: ________________

Перенос навыка: вместо квадрата неизвестная цифра

Символ □ заменяет ровно одну цифру. В начале многозначного числа 0 использовать нельзя. Приведите все допустимые цифры и поясните каждую через разность сумм.

Итоговая проверка

Примените один и тот же признак к большой записи и к выбору готового кода.

23. Можно ли без деления подтвердить, что 121121 делится на 11? Ответ: ________________
24. Из чисел 462, 463, 473 выберите все кратные 11. Ответ: ________________

Методическая заметка: продвигайтесь от трёхзначных чисел к пяти- и семизначным, а потом к кодам с неизвестной цифрой. При сомнении ученик должен поставить под числом два ряда значений — знаки «+» и «−». Не допускайте объяснения «число большое, поэтому обязательно делится»: величина числа не связана с признаком.

При самостоятельном контроле рекомендуется всегда делать второй проход другим способом: если чередующаяся сумма дала 0 или ±11, проверьте частное умножением. Для пятизначного примера 10989 : 11 = 999; обратная проверка 999 × 11 = 10989. В задаче с пропущенной цифрой после подстановки цифры обязательно прочитайте полученное число целиком, включая разряды.

Обратная проверка не обязательна для каждого числа, но полезна при спорных случаях. Например, для 462 можно проверить 11 × 42 = 462, тогда как для 463 между 462 и 473 нет полного следующего кратного. Не заменяйте проверку на 11 признаками на 3 или 9 — даже если обычная сумма цифр кратна одному из этих чисел, это ничего не сообщает о делимости на 11.

Вопрос на перенос: почему решение с отрицательной разностью нельзя автоматически отвергать? Потому что делимость определяется кратностью, а не знаком; в частности, −11 = 11 × (−1). На уровне 6 класса достаточно этого числового наблюдения без формального доказательства признака.

Ответы и объяснения — ключ для проверки

Ключ размещён отдельно от заданий. Для печати только ученической части печатайте страницы до этого раздела или выделите нужный диапазон в диалоге печати.

1. да Чередующаяся сумма 0; она кратна 11.
2. да Чередующаяся сумма 0; она кратна 11.
3. да Чередующаяся сумма -11; она кратна 11.
4. да Чередующаяся сумма 11; она кратна 11.
5. да Чередующаяся сумма 0; она кратна 11.
6. да Чередующаяся сумма 0; она кратна 11.
7. да Чередующаяся сумма 11; она кратна 11.
8. нет Чередующаяся сумма 3; она не кратна 11.
9. нет Чередующаяся сумма -1; она не кратна 11.
10. да Чередующаяся сумма 0; она кратна 11.
11. вывод верный, объяснение неверное 2−4+2=0. Обычная сумма 8 сама по себе не служит признаком на 11.
12. делится 1−2+1−0=0; 1210=11×110.
13. делится, но по другому признаку 3−9+0−5=−11; последняя цифра 5 не определяет делимость на 11.
14. не делится; причина в остатке, а не знаке 2−3+2−3=−2; −2 не кратно 11. Отрицательные −11 и −22, напротив, кратны 11.
15. 11 8−1+4=11, поэтому 814 делится на 11.
16. 0 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 0.
17. 7 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 7.
18. 0 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 0.
19. 8 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 8.
20. нет решения Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Ни одна допустимая цифра не даёт разность, кратную 11.
21. 3 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 3.
22. 8 Проверка всех десяти цифр через чередующуюся сумму. Допустимы 8.
23. да 1−2+1−1+2−1=0, значит кратно 11.
24. 462 и 473 462=42×11, 473=43×11; для 463 сумма 4−6+3=1, не кратно 11.

Как провести проверку

Первые десять пунктов оцените по двум частям: вычисление разности и правильный вывод. Для заданий с □ обязательно указать все допустимые цифры; отсутствие решения — полноценный правильный ответ, если оно обосновано. В спорных суждениях различайте неверный вывод и неверное объяснение.