Разбор типичных ошибок: умножение многочлена на трёхчлен — 7 класс

7 класс · Алгебра · Материал для распечатки

Диагностический разбор ошибок: сначала проверь чужие решения, затем выполни умножение самостоятельно.

Содержание статьи10 разделов

Как искать ошибку, прежде чем переписывать решение

При умножении многочлена на трёхчлен каждый член первого множителя встречается с тремя членами второго. Если первый множитель — двучлен, промежуточных произведений будет шесть; если трёхчлен, то девять. Пример: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6.

Записывай промежуточные слагаемые в строку, не торопясь их объединять. Особое внимание удели отрицательному знаку у второго и третьего членов трёхчлена. Если множители уже даны, проверка по старшему и свободному членам помогает найти ошибку: старший член произведения зависит от старших членов множителей, свободный — от свободных.

Работа разбита на три ступени. Подсказки расположены после всех заданий, чтобы можно было честно попробовать решить самостоятельно. Для ступени I достаточно объяснить одну причину ошибки; для ступеней II и III нужно записать полное преобразование.

Часть для ученика

Ступень I. Судебная экспертиза шести решений

В каждом утверждении определи, верно ли равенство. Если неверно, восстанови правильный многочлен. Не доверяй только знакам перед скобками: их нужно применять к каждому члену.

  1. Проверь: (x + 2)(x² + 3x + 1) = x³ + 5x² + 6x + 2.
  2. Проверь: (x − 1)(x² + 2x + 4) = x³ + x² + 2x + 4.
  3. Проверь: (2a + 3)(a² − a + 2) = 2a³ + a² + 2a + 6.
  4. Проверь: (m + 4)(m² − 2m + 3) = m³ + 2m² + 5m + 12.
  5. Проверь: (3t − 2)(t² + t + 1) = 3t³ + t² + t − 2.
  6. Проверь: (x − 3)(x² + 4x − 1) = x³ + x² − 13x + 3.

Ступень II. Вычисли и проконтролируй

Раскрой скобки. Сначала выпиши отдельно произведение первого члена двучлена на трёхчлен и произведение второго члена, затем сложи. Показать оба промежуточных многочлена нужно хотя бы для задач 8 и 10.

  1. (x + 1)(x² + 2x + 5).
  2. (2x − 1)(x² − 3x + 2).
  3. (a − 2)(a² + a − 4).
  4. (3m + 2)(m² − m + 1).
  5. (y + 3)(2y² − y − 2).
  6. (2p − 3)(p² + 2p − 1).

Ступень III. Сложная сборка

Здесь оба множителя — трёхчлены. Удобно расположить девять произведений в таблице 3×3. Если изучение таких примеров в вашей программе ещё не началось, их можно использовать как дополнительное задание, а обязательную часть завершить на № 12.

  1. (x² + x + 1)(x² − x + 2).
  2. (a² + 2a − 1)(a² − a + 3).
  3. (2m² − m + 1)(m² + m − 2).
  4. (x² + 3x + 2)(x² − 2x + 1).
  5. (3y² + y − 2)(y² − y + 1).
  6. (p² − 2p + 4)(p² + p − 1).

Подсказки после попытки

  • Для № 2: свободный член должен быть равен −4, поскольку −1·4 = −4.
  • Для № 3: отдельно вычисли 2a·(−a) и 3·a²; затем сложи подобные члены одной степени.
  • Для № 8: при умножении −1 на −3x получается +3x.
  • Для № 13–18: пересчитай число промежуточных произведений — до объединения их девять.

Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки

Проверка ступени I с причинами

  1. Неверно: x³ + 5x² + 7x + 2. Коэффициент при x должен быть 7, поскольку x·1 + 2·3x = 7x, а не 6x.
  2. Неверно: x³ + x² + 2x − 4. Свободный член должен равняться −4, а не +4; остальные коэффициенты верны.
  3. Неверно: 2a³ + a² + a + 6. После объединения подобных слагаемых коэффициент при a равен 1, а не 2.
  4. Неверно: m³ + 2m² − 5m + 12. Правильный коэффициент при m равен −5, а не +5.
  5. Верно: 3t³ + t² + t − 2. Ошибки нет: проверь произведение (−2)·1 = −2 и сумму членов с t.
  6. Верно: x³ + x² − 13x + 3. Ошибки нет: коэффициент при x равен −1 − 12 = −13.

Развёрнутые ответы ступени II

  1. (x + 1)(x² + 2x + 5) = (x³ + 2x² + 5x) + (x² + 2x + 5) = x³ + 3x² + 7x + 5.
  2. (2x − 1)(x² − 3x + 2) = (2x³ − 6x² + 4x) + (−x² + 3x − 2) = 2x³ − 7x² + 7x − 2.
  3. (a − 2)(a² + a − 4) = (a³ + a² − 4a) + (−2a² − 2a + 8) = a³ − a² − 6a + 8.
  4. (3m + 2)(m² − m + 1) = (3m³ − 3m² + 3m) + (2m² − 2m + 2) = 3m³ − m² + m + 2.
  5. (y + 3)(2y² − y − 2) = (2y³ − y² − 2y) + (6y² − 3y − 6) = 2y³ + 5y² − 5y − 6.
  6. (2p − 3)(p² + 2p − 1) = (2p³ + 4p² − 2p) + (−3p² − 6p + 3) = 2p³ + p² − 8p + 3.

Полный ход № 8: (2x − 1)(x² − 3x + 2) = (2x³ − 6x² + 4x) + (−x² + 3x − 2) = 2x³ − 7x² + 7x − 2. Для контроля можно взять x = 0: исходное произведение и итоговый многочлен равны −2.

Ответы ступени III

  1. (x² + x + 1)(x² − x + 2) = (x⁴ − x³ + 2x²) + (x³ − x² + 2x) + (x² − x + 2) = x⁴ + 2x² + x + 2.
  2. (a² + 2a − 1)(a² − a + 3) = (a⁴ − a³ + 3a²) + (2a³ − 2a² + 6a) + (−a² + a − 3) = a⁴ + a³ + 7a − 3.
  3. (2m² − m + 1)(m² + m − 2) = (2m⁴ + 2m³ − 4m²) + (−m³ − m² + 2m) + (m² + m − 2) = 2m⁴ + m³ − 4m² + 3m − 2.
  4. (x² + 3x + 2)(x² − 2x + 1) = (x⁴ + 3x³ + 2x²) + (−2x³ − 6x² − 4x) + (x² + 3x + 2) = x⁴ + x³ − 3x² − x + 2.
  5. (3y² + y − 2)(y² − y + 1) = (3y⁴ + y³ − 2y²) + (−3y³ − y² + 2y) + (3y² + y − 2) = 3y⁴ − 2y³ + 3y − 2.
  6. (p² − 2p + 4)(p² + p − 1) = (p⁴ − 2p³ + 4p²) + (p³ − 2p² + 4p) + (−p² + 2p − 4) = p⁴ − p³ + p² + 6p − 4.

Разбор по типам сбоев. Неверный свободный член чаще всего означает ошибку умножения двух свободных членов. Неверная высшая степень может указывать на потерянное произведение старших членов. Ошибка только при одной степени требует пересмотреть именно те произведения, которые дают соответствующую степень. Подстановка x = 0 позволяет отдельно проверить свободный член; подстановка x = 1 даёт быстрый контроль всей суммы коэффициентов, но не является строгим доказательством равенства многочленов.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым