Разложение на множители после замены переменных — карточки с ответами, 7 класс

Исследование для 7 класса. Здесь требуется увидеть повторяющееся выражение, временно обозначить его одной буквой, выполнить разложение и обязательно вернуть исходные переменные. Замена — способ распознать знакомую структуру, а не самостоятельный конечный ответ.

Наблюдение: сложное выражение ведёт себя как одна буква

Сравните t² − 9 и (x + y)² − 9. В первом случае сразу видно (t − 3)(t + 3). Во втором достаточно положить t = x + y. После обратной подстановки получится (x + y − 3)(x + y + 3). Само выражение не изменилось: обозначение помогло увидеть разность квадратов.

Возьмём более длинный пример: (m − n)² + 7(m − n) + 12. Если t = m − n, получаем t² + 7t + 12 = (t + 3)(t + 4). Возвращаем обозначение: (m − n + 3)(m − n + 4). При умножении скобок получается исходный многочлен — это проверка.

Гипотеза и проверка

Гипотеза. Если в многочлене несколько раз повторяется одна и та же сумма, разность или степень, замена повторяющегося фрагмента помогает выделить общий множитель или применить формулу сокращённого умножения. Гипотеза не утверждает, что всякое выражение после замены разложится на множители с целыми коэффициентами.

Проверка 1: в (2a + b)² − 4(2a + b) положите t = 2a + b. Тогда t² − 4t = t(t − 4), то есть (2a + b)(2a + b − 4).

Проверка 2: для x⁴ − 5x² + 4 удобно t = x². Получаем t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4), после возврата — (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2). Этот приём не требует решения уравнения: мы раскладываем выражение.

Вывод. Порядок работы таков: найти одинаковую часть, ввести символ, разложить более простое выражение, вернуть прежние переменные, проверить умножением. Иногда после обратной замены можно раскладывать множители дальше — остановитесь только после проверки.

Карточки для самостоятельного исследования

Для каждого пункта запишите временную замену на черновике, разложите многочлен, затем верните переменные. Ответы вынесены ниже таблицы, поэтому при самостоятельном решении не подсматривайте в ключ. В заданиях 7–8 нужны два последовательных разложения, а в 9–10 удобно использовать сразу два обозначения.

Лист решений и обязательная проверка

1. (x + y)² − 49 → t = x + y → (x + y − 7)(x + y + 7). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
2. (a − b)² − 16 → t = a − b → (a − b − 4)(a − b + 4). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
3. 4(m + n)² − 25 → t = m + n → (2m + 2n − 5)(2m + 2n + 5). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
4. (p − q)² + 6(p − q) + 9 → t = p − q → (p − q + 3)². Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
5. (x + 2y)² − 10(x + 2y) + 25 → t = x + 2y → (x + 2y − 5)². Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
6. (a + 3b)² − 5(a + 3b) + 6 → t = a + 3b → (a + 3b − 2)(a + 3b − 3). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
7. z⁴ − 13z² + 36 → t = z² → (z − 3)(z + 3)(z − 2)(z + 2). После обратной замены выполнено дополнительное разложение разности квадратов; обратное раскрытие даёт исходное выражение.
8. m⁴ − 10m² + 9 → t = m² → (m − 1)(m + 1)(m − 3)(m + 3). После обратной замены выполнено дополнительное разложение разности квадратов; обратное раскрытие даёт исходное выражение.
9. (2x − y)² − (x + y)² → A = 2x − y, B = x + y → (x − 2y)(3x). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
10. 9(a + b)² − (a − b)² → A = 3(a + b), B = a − b → 4(a + 2b)(2a + b). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
11. 2(x − y)² + 6(x − y) → t = x − y → 2(x − y)(x − y + 3). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
12. 5(p + 2q)² − 15(p + 2q) → t = p + 2q → 5(p + 2q)(p + 2q − 3). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
13. (x − 4y)² − 2(x − 4y) − 15 → t = x − 4y → (x − 4y − 5)(x − 4y + 3). Проверка: раскрытие полученных скобок возвращает исходное выражение.
14. a⁴ − 16b⁴ → A = a², B = 4b² → (a − 2b)(a + 2b)(a² + 4b²). После обратной замены выполнено дополнительное разложение разности квадратов; обратное раскрытие даёт исходное выражение.

Что важно заметить при разборе

Одна и та же буква обязана обозначать одно и то же. Запись t = a + b на первой строке и t = a − b на следующей нарушает смысл замены. Для двух разных выражений вводят A и B.

Не путайте тождество с уравнением. Мы не ищем значения переменных и не делим на выражения, которые могут обращаться в нуль. Поэтому полученные факторизации сохраняют смысл при любых действительных значениях переменных.

Последняя проверка. Раскройте множители хотя бы в двух наиболее сложных номерах, например 7 и 14. В задаче 14 формула разности четвёртых степеней даёт (a² − 4b²)(a² + 4b²), и первый множитель раскладывается дальше.