Решение задач на части с помощью уравнения — задачи и ответы, 7 класс

Рабочий лист для 7 класса: учимся видеть неизвестную «часть» и составлять линейное уравнение по сумме или разности величин. Это не задачи на смеси: примеры связаны с распределением книг, мест, билетов, времени и школьного оборудования. В каждой модели все части одинаковы по размеру внутри одного условия, но их количество в разных группах может быть разным.

Схема вместо угадывания

Если для двух групп задано отношение 2 : 3, обозначьте одну часть через x. Тогда количества составят 2x и 3x. Если всего 45 единиц, уравнение 2x + 3x = 45 даёт x = 9, а группы — 18 и 27. Проверяем обе величины и сумму: 18 + 27 = 45. Недостаточно написать «x = 9», если задача спрашивает, сколько предметов в каждой группе.

Задачи по таблице: 10 самостоятельных упражнений

Для каждого пункта запишите именно уравнение, а не только пропорцию. После решения назовите численность всех групп и выполните контроль суммы или разности. Величины целые, поэтому ответ с дробным количеством предметов здесь укажет на ошибку.

1. № 1. В двух стеллажах книги распределены в отношении 2 : 3. Всего 65 книг. Сколько книг на каждом стеллаже?
2. № 2. В двух классах собрали наборы бумаги в отношении 4 : 5; всего 81 набор. Найдите количество по классам.
3. № 3. На двух кружках число участников относится как 3 : 7. Всего 80 человек. Сколько в каждом?
4. № 4. Два шкафа содержат папки в отношении 1 : 4. В большем на 24 папки больше. Сколько папок в каждом?
5. № 5. Билеты двух категорий распределены в отношении 5 : 8. Билетов второй категории на 21 больше. Сколько билетов каждой категории?
6. № 6. На две площадки доставили одинаковые коробки в отношении 2 : 9; всего 121 коробка. Найдите количество.
7. № 7. В школьной библиотеке новые книги двух жанров распределены как 7 : 3; всего 150 книг. Сколько книг каждого жанра?
8. № 8. В двух группах тренировки число участников относится как 3 : 5. Во второй на 18 больше. Сколько участников в группах?
9. № 9. Один класс собрал 6 частей макулатуры, другой — 4 такие же части. Вместе 170 кг. Найдите массы по классам.
10. № 10. На двух полках 9 частей книг и 2 части книг. На первой на 49 книг больше. Сколько книг на каждой?

Три группы и перераспределение: ещё 8 задач

Для трёх групп пишите сразу все слагаемые. Если после перераспределения общее количество не изменилось, составьте равенство сумм «до» и «после» и убедитесь, что части интерпретируются верно.

1. № 11. Три секции получили мячи в отношении 1 : 2 : 3; всего 72 мяча. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
2. № 12. Три школьные полки заполнены книгами в отношении 2 : 3 : 4; всего 108 книг. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
3. № 13. Три команды собрали батарейки на переработку в отношении 3 : 5 : 7; всего 150 штук. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
4. № 14. Три группы взяли тренажёры в отношении 1 : 4 : 5; всего 80 тренажёров. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
5. № 15. Три класса подготовили поделки в отношении 2 : 2 : 5; всего 99 поделок. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
6. № 16. Три школьные библиотеки получили книги в отношении 4 : 6 : 7; всего 119 книг. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
7. № 17. В трёх отделах хранятся коробки в отношении 3 : 4 : 6; всего 91 коробка. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.
8. № 18. Три зала получили стулья в отношении 2 : 5 : 6; всего 156 стульев. Сколько в каждой группе? Составьте линейное уравнение через одну часть x.

Ключ к 18 задачам

Сначала сравните свою модель с приведённым уравнением. Если модель верная, но значения не совпадают, найдите ошибку при делении. Если перепутаны группы в ответе, восстановите соответствие коэффициентов и величин.

1. № 1. 2x+3x=65; x=13. Получаем 26 и 39 книг; проверка 26+39=65
2. № 2. 4x+5x=81; x=9. Получаем 36 и 45 наборов; проверка 36+45=81
3. № 3. 3x+7x=80; x=8. Получаем 24 и 56 человек; проверка 24+56=80
4. № 4. 4x−1x=24; x=8. Получаем 8 и 32 папок; проверка разности: 32−8=24.
5. № 5. 8x−5x=21; x=7. Получаем 35 и 56 билетов; проверка разности: 56−35=21.
6. № 6. 2x+9x=121; x=11. Получаем 22 и 99 коробок; проверка 22+99=121
7. № 7. 7x+3x=150; x=15. Получаем 105 и 45 книг; проверка 105+45=150
8. № 8. 5x−3x=18; x=9. Получаем 27 и 45 участников; проверка разности: 45−27=18.
9. № 9. 6x+4x=170; x=17. Получаем 102 и 68 кг; проверка 102+68=170
10. № 10. 9x−2x=49; x=7. Получаем 63 и 14 книг; проверка разности: 63−14=49.
11. № 11. 1x+2x+3x=72, x=12. Ответ: 12, 24, 36 мячей. Проверка: 12+24+36=72.
12. № 12. 2x+3x+4x=108, x=12. Ответ: 24, 36, 48 книг. Проверка: 24+36+48=108.
13. № 13. 3x+5x+7x=150, x=10. Ответ: 30, 50, 70 штук. Проверка: 30+50+70=150.
14. № 14. 1x+4x+5x=80, x=8. Ответ: 8, 32, 40 тренажёров. Проверка: 8+32+40=80.
15. № 15. 2x+2x+5x=99, x=11. Ответ: 22, 22, 55 поделок. Проверка: 22+22+55=99.
16. № 16. 4x+6x+7x=119, x=7. Ответ: 28, 42, 49 книг. Проверка: 28+42+49=119.
17. № 17. 3x+4x+6x=91, x=7. Ответ: 21, 28, 42 коробок. Проверка: 21+28+42=91.
18. № 18. 2x+5x+6x=156, x=12. Ответ: 24, 60, 72 стульев. Проверка: 24+60+72=156.

Самостоятельный контроль и разбор ошибок

Для оценки используйте 3 критерия на задачу: правильная запись величин через x, правильно составленное уравнение, полное решение с проверкой. Одна типичная ошибка — сложить сами числа отношения и объявить сумму ответом. Числа отношения показывают количество одинаковых частей, а не готовые количества объектов. Другая ошибка — написать только x, забыв умножить его на коэффициенты.

Проверить понимание можно короткой устной задачей: если 2 части равны 18 предметам, одна часть равна 9 предметам, а 5 частей — 45. При этом исходный общий итог двух групп составляет 63. Если ученик объясняет это своими словами и может составить 2x + 5x = 63, основная модель освоена.

Что делать, когда дана разность частей

Если две группы находятся в отношении 3 : 7 и в большей на 20 предметов больше, составьте 7x − 3x = 20. Это означает, что четыре одинаковые части содержат 20 предметов, значит одна часть равна пяти. Получаем 15 и 35 предметов. Нельзя написать 3x + 7x = 20: число 20 в условии — разность, а не общий итог. Чтобы не перепутать знак, подчеркивайте слова «всего», «больше на», «меньше на».

В задачах с тремя группами сохраняется тот же приём. Если в отношении 1 : 3 : 5 всего 81 предмет, обозначим одну часть через x и получим x + 3x + 5x = 81. Тогда 9x = 81, x = 9, количества равны 9, 27 и 45. Проверка: 9+27+45=81. При правильном уравнении одновременно выполняются и общий итог, и заданное отношение между группами.

Памятка перед сдачей работы

В ответе обязательно подпишите, какому объекту относится каждое найденное количество. Если отношение указано в порядке «первая ко второй», то 2x соответствует первой, а 5x — второй. Не переставляйте числа местами, даже когда общий итог сохраняется. Проверьте также, что найденное число одной части неотрицательно, а для предметов, книг и людей является целым. Если при корректной модели получается дробное число людей, перечитайте условие: вероятно, неверно выписан коэффициент или знак.

Для работы на уроке можно разделить лист: задания 1–5 — обязательная проверка модели, 6–10 — работа с разностью, 11–18 — самостоятельный расчёт по трём группам. Такая последовательность даёт возможность увидеть, на каком этапе ученик начинает смешивать понятия отношения, количества частей и конкретного количества объектов.

Сильный ученик может дополнительно придумать собственную задачу на части и обменяться ею с соседом. В условии должны быть названы группы, их отношение и одна общая величина — сумма или разность. Обязательная проверка авторской задачи: после решения получаются целые, неотрицательные количества, а все данные совпадают с условием.