Решение задач о смеси без процентов: задания с ответами для 7 класса

Практикум по уравнениям о смесях без процентов для 7 класса. Используем массы, обыкновенные дроби и доли целого; никакого перевода в проценты не требуется. В текстах речь идёт о сухих пищевых смесях и учебных макетах: масса каждого компонента при смешивании сохраняется, потерь нет. Сначала простые задачи на массу, затем смешивание двух составов и, наконец, практический кейс на выбор рецепта. Все нужные данные указаны в условиях.

Как строится модель смеси

Пусть x кг — неизвестная масса второго состава. В первом составе массой A кг доля нужного вещества p, во втором — q. Тогда итоговая масса A + x, а масса выбранного вещества A·p + x·q. Если в результате доля этого вещества r, уравнение имеет вид A·p + x·q = r(A + x). Это равенство масс, не формула для процентов. Важно: p и q описывают части своих исходных смесей, а r — часть всей полученной смеси.

Разобранный образец. 8 кг первой смеси содержат половину крупы A; во второй смеси крупы A одна четверть. Какую массу второй смеси нужно добавить, чтобы крупа A составляла 3/8 результата? Обозначим x кг вторую смесь: 8·(1/2) + x·(1/4) = (3/8)(8 + x). Умножая на 8, получаем 32 + 2x = 24 + 3x, значит x = 8 кг. Проверка: (4 + 2)/(8 + 8) = 6/16 = 3/8. Эта проверка исключает подмену массы вещества общей массой.

Быстрый старт — шесть задач на массу

Не переходите к долям, пока не умеете составлять простую сумму масс. Найдите x и проверьте, что общий вес равен сумме всех компонентов. Используйте исключительно неотрицательные массы.

1. № 1. В сухую смесь из 5 кг овсяных хлопьев добавили x кг орехов, получили 12 кг смеси. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.
2. № 2. К 8 кг муки подмешали x кг отрубей; всего стало 15 кг. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.
3. № 3. Сухая смесь весит 18 кг, из них 11 кг составляет рис; остальное — x кг гречки. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.
4. № 4. Два мешка зерна весом 13 кг и x кг объединили, получили 25 кг. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.
5. № 5. Для учебного макета соединили 4 кг песка, 6 кг каменной крошки и x кг гравия, получили 16 кг. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.
6. № 6. Масса сухого набора составляет 30 кг: 9 кг крупы a, 8 кг крупы b и x кг крупы c. Найдите x и запишите уравнение баланса масс.

Уравнения с долями — одиннадцать задач

В каждом пункте первая смесь имеет известную массу A, вторая — неизвестную x. Доля искомого компонента в каждом составе указана; в конечной смеси известна итоговая доля r. Требуется найти массу x в килограммах. Для дробей используйте точные значения, не десятичные приближения.

1. № 7. В 8 кг смеси № 1 доля крупы A равна 1/2; в смеси № 2 — 1/4. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля крупы A в результате составляла 3/8? Составьте уравнение.
2. № 8. В 4 кг смеси № 1 доля семян льна равна 2/3; в смеси № 2 — 1/3. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля семян льна в результате составляла 1/2? Составьте уравнение.
3. № 9. В 6 кг смеси № 1 доля овсяных хлопьев равна 3/4; в смеси № 2 — 1/4. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля овсяных хлопьев в результате составляла 1/2? Составьте уравнение.
4. № 10. В 10 кг смеси № 1 доля миндаля равна 1/2; в смеси № 2 — 1/5. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля миндаля в результате составляла 2/5? Составьте уравнение.
5. № 11. В 6 кг смеси № 1 доля рисовой крупы равна 1/3; в смеси № 2 — 1/6. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля рисовой крупы в результате составляла 2/9? Составьте уравнение.
6. № 12. В 12 кг смеси № 1 доля ореховой крошки равна 1/4; в смеси № 2 — 1/2. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля ореховой крошки в результате составляла 1/3? Составьте уравнение.
7. № 13. В 5 кг смеси № 1 доля сушёных ягод равна 3/5; в смеси № 2 — 1/5. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля сушёных ягод в результате составляла 1/3? Составьте уравнение.
8. № 14. В 9 кг смеси № 1 доля фасоли равна 2/3; в смеси № 2 — 1/3. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля фасоли в результате составляла 7/12? Составьте уравнение.
9. № 15. В 8 кг смеси № 1 доля гречневой крупы равна 3/8; в смеси № 2 — 3/4. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля гречневой крупы в результате составляла 1/2? Составьте уравнение.
10. № 16. В 6 кг смеси № 1 доля сухофруктов равна 1/6; в смеси № 2 — 2/3. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля сухофруктов в результате составляла 1/3? Составьте уравнение.
11. № 17. В 12 кг смеси № 1 доля кукурузных хлопьев равна 5/6; в смеси № 2 — 1/3. Сколько кг смеси № 2 нужно добавить к первой, чтобы доля кукурузных хлопьев в результате составляла 7/12? Составьте уравнение.

Промежуточная проверка для всех 11 задач: полученная доля r всегда находится строго между долями p и q при положительных массах двух составов. Если после решения x получилось отрицательным, это признак ошибочного уравнения или неверно записанной дроби. Например, в образце 3/8 действительно находится между 1/4 и 1/2.

Сложнее — шесть задач на обратный состав

Изменился тип неизвестного: теперь одна масса или одна доля дана косвенно. Укажите, что сохраняется при смешивании, прежде чем раскрывать скобки.

1. № 18. Есть 8 кг сухой смеси, где доля крупы A равна 1/2. В смесь добавляют x кг чистого наполнителя, который не содержит крупы A. После добавления доля крупы A стала 1/4. Найдите x, записав баланс массы крупы A.
2. № 19. Есть 6 кг сухой смеси, где доля сухих ягод равна 1/3. В смесь добавляют x кг чистых сухих ягод. После добавления доля сухих ягод стала 2/3. Найдите x, записав баланс массы сухих ягод.
3. № 20. Есть 12 кг сухой смеси, где доля миндаля равна 1/4. В смесь добавляют x кг смеси без миндаля. После добавления доля миндаля стала 3/16. Найдите x, записав баланс массы миндаля.
4. № 21. Есть 10 кг сухой смеси, где доля изюма равна 2/5. В смесь добавляют x кг чистого изюма. После добавления доля изюма стала 7/10. Найдите x, записав баланс массы изюма.
5. № 22. Есть 9 кг сухой смеси, где доля кунжута равна 2/3. В смесь добавляют x кг наполнителя без кунжута. После добавления доля кунжута стала 1/3. Найдите x, записав баланс массы кунжута.
6. № 23. Есть 8 кг сухой смеси, где доля орехов равна 1/4. В смесь добавляют x кг чистых измельчённых орехов. После добавления доля орехов стала 1/2. Найдите x, записав баланс массы орехов.

Практический кейс — четыре комплексных шага

Школьный кружок готовит тренировочную сухую смесь для демонстрации дробных частей. Все массы заданы в килограммах. Сперва выберите модель, затем вычислите, после — сформулируйте проверку по смыслу.

1. № 24. В ящике 16 кг смеси, где 1/4 составляет крупа A. Добавили x кг чистой крупы A. В новом составе доля крупы A равна 1/2. Найдите x.
2. № 25. В коробке 15 кг смеси, из них 2/5 — орехи. Добавили x кг наполнителя без орехов. Доля орехов стала 1/4. Найдите x.
3. № 26. В 18 кг смеси 1/3 приходится на сухофрукты. Добавили x кг чистых сухофруктов, так что их доля выросла до 1/2. Найдите x.
4. № 27. В 20 кг смеси 3/5 — овсяные хлопья. Добавили x кг вещества без хлопьев, получив долю хлопьев 2/5. Найдите x.

Все решения и ответы

Ключи намеренно собраны после четырёх серий заданий. При печати достаточно скрыть эту часть, чтобы ученик не видел результата. В уравнениях умножение на долю записано скобками, а каждое число в ответе имеет единицу «кг».

1. № 1. 5+x=12; x=7 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
2. № 2. 8+x=15; x=7 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
3. № 3. 11+x=18; x=7 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
4. № 4. 13+x=25; x=12 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
5. № 5. 4+6+x=16; x=6 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
6. № 6. 9+8+x=30; x=13 кг. Сумма масс после подстановки совпадает с данным общим весом.
7. № 7. 4 + (1/4)x = (3/8)(8+x); x=8 кг. Контроль: (4+2)/(8+8)=3/8.
8. № 8. 8/3 + (1/3)x = (1/2)(4+x); x=4 кг. Контроль: (8/3+4/3)/(4+4)=1/2.
9. № 9. 9/2 + (1/4)x = (1/2)(6+x); x=6 кг. Контроль: (9/2+3/2)/(6+6)=1/2.
10. № 10. 5 + (1/5)x = (2/5)(10+x); x=5 кг. Контроль: (5+1)/(10+5)=2/5.
11. № 11. 2 + (1/6)x = (2/9)(6+x); x=12 кг. Контроль: (2+2)/(6+12)=2/9.
12. № 12. 3 + (1/2)x = (1/3)(12+x); x=6 кг. Контроль: (3+3)/(12+6)=1/3.
13. № 13. 3 + (1/5)x = (1/3)(5+x); x=10 кг. Контроль: (3+2)/(5+10)=1/3.
14. № 14. 6 + (1/3)x = (7/12)(9+x); x=3 кг. Контроль: (6+1)/(9+3)=7/12.
15. № 15. 3 + (3/4)x = (1/2)(8+x); x=4 кг. Контроль: (3+3)/(8+4)=1/2.
16. № 16. 1 + (2/3)x = (1/3)(6+x); x=3 кг. Контроль: (1+2)/(6+3)=1/3.
17. № 17. 10 + (1/3)x = (7/12)(12+x); x=12 кг. Контроль: (10+4)/(12+12)=7/12.
18. № 18. 4=(1/4)(8+x); x=8 кг. Проверка по балансу: масса крупы A равна 4 кг, вся смесь — 16 кг; их отношение 1/4.
19. № 19. 2+x=(2/3)(6+x); x=6 кг. Проверка по балансу: масса сухих ягод равна 8 кг, вся смесь — 12 кг; их отношение 2/3.
20. № 20. 3=(3/16)(12+x); x=4 кг. Проверка по балансу: масса миндаля равна 3 кг, вся смесь — 16 кг; их отношение 3/16.
21. № 21. 4+x=(7/10)(10+x); x=10 кг. Проверка по балансу: масса изюма равна 14 кг, вся смесь — 20 кг; их отношение 7/10.
22. № 22. 6=(1/3)(9+x); x=9 кг. Проверка по балансу: масса кунжута равна 6 кг, вся смесь — 18 кг; их отношение 1/3.
23. № 23. 2+x=(1/2)(8+x); x=4 кг. Проверка по балансу: масса орехов равна 6 кг, вся смесь — 12 кг; их отношение 1/2.
24. № 24. 4+x=(1/2)(16+x); x=8 кг. Проверка: 12/24=1/2.
25. № 25. 6=(1/4)(15+x); x=9 кг. Проверка: 6/24=1/4.
26. № 26. 6+x=(1/2)(18+x); x=6 кг. Проверка: 12/24=1/2.
27. № 27. 12=(2/5)(20+x); x=10 кг. Проверка: 12/30=2/5.

Методическая проверка: в задачах на смесь нельзя складывать доли ингредиента из разных мешков напрямую. Сначала переводите каждую долю в массу ингредиента, суммируйте массы и только затем делите на массу всего результата. В школьной задаче с неизменными массами компонентов это даёт необходимый баланс.

Оценивание: 1 балл за обозначение x, 1 за сохранение массы нужного компонента, 1 за уравнение, 1 за правильный ответ и проверку. Для сложных задач полезно проверять граничные случаи: чистая добавка увеличивает долю компонента, пустая по компоненту — уменьшает. Такой контроль помогает обнаруживать неверный знак ещё до вычисления.

Почему средняя доля не всегда равна полусумме

Представьте два пакета разной массы: первый весит 10 кг и содержит 1/2 выбранного вещества, второй — 2 кг и содержит 1/4. После объединения доля вещества составит (5+1/2)/12=11/24, а вовсе не (1/2+1/4)/2=3/8. Среднее арифметическое долей работает только при равных массах компонентов. Поэтому в любой задаче из этого листа обязательно учитывайте, сколько килограммов каждой исходной смеси взяли.

Отдельно проверяйте физический смысл: добавление чистого компонента повышает его долю, добавление наполнителя без этого компонента — понижает. Например, смесь с 1/4 орехов не может превратиться в смесь с 1/2 орехов от добавления одного лишь наполнителя. Если условие требует невозможного, это повод объяснить противоречие, а не получать отрицательную массу. В нашем тренажёре условия подобраны так, что решение существует и положительно.

Для удобства проверки учитель может дать ученику отдельную таблицу из трёх колонок: «общая масса смеси», «масса нужного компонента», «доля компонента». Заполнение таблицы перед уравнением помогает различить величины. Пусть при изменении массы x общая масса стала A+x; это число не следует подставлять вместо массы самого вещества. Ошибка именно на этом шаге чаще всего приводит к неверным ответам.