Сечение шара плоскостью и радиус полученной окружности для 11 класса — упражнения с разбором

Печатный рабочий лист для 11 класса. В каждом варианте все размеры относятся к одному и тому же геометрическому объекту — шару; d измеряется перпендикулярно плоскости от центра шара.

Геометрическая модель

Пусть O — центр шара, H — основание перпендикуляра из O на секущую плоскость, P — любая точка окружности сечения. Треугольник OHP прямоугольный, OP = R, OH = d, HP = r. По теореме Пифагора r² = R² − d². Отсюда r = √(R² − d²), если 0 ≤ d ≤ R.

Важно: площадь круга сечения равна πr², длина окружности равна 2πr. Это разные величины с разными единицами.

Вариант А — 8 заданий

1. Найдите радиус сечения шара радиуса 13 см плоскостью на расстоянии 5 см от центра. Поле решения: __________________________
2. Для шара R = 10 дм, d = 6 дм найдите площадь круга сечения. Поле решения: __________________________
3. Шар R = 17 м, плоскость на расстоянии 15 м. Найдите диаметр сечения. Поле решения: __________________________
4. Плоскость проходит через центр шара радиуса 9 см. Найдите радиус окружности сечения. Поле решения: __________________________
5. Шар R = 5 см, d = 5 см. Сколько общих точек с плоскостью и каков формальный радиус? Поле решения: __________________________
6. У шара R = 8 см, d = 10 см. Существует ли сечение? Поле решения: __________________________
7. Шар R = 25 см, d = 7 см. Найдите радиус сечения. Поле решения: __________________________
8. Радиус шара 15 см. Плоскость на расстоянии 9 см. Найдите длину окружности сечения. Поле решения: __________________________

Вариант Б — 8 независимых заданий

1. Шар радиуса 20 см пересечён плоскостью при d = 12 см. Найдите радиус круга сечения. Поле решения: __________________________
2. Радиус шара 13 дм, расстояние до плоскости 12 дм. Найдите площадь круга сечения. Поле решения: __________________________
3. При R = 10 см и d = 8 см найдите диаметр окружности сечения. Поле решения: __________________________
4. Для центрального сечения шара R = 6 м найдите его площадь. Поле решения: __________________________
5. У шара R = 7 дм и d = 7 дм. Можно ли получить окружность положительного радиуса? Поле решения: __________________________
6. При R = 11 см и d = 13 см определите, возможно ли сечение. Поле решения: __________________________
7. Шар R = 29 см, d = 21 см. Определите радиус круга сечения. Поле решения: __________________________
8. Шар R = 41 см, d = 40 см. Найдите диаметр окружности сечения. Поле решения: __________________________

Ключ варианта А

Ключ варианта Б

Критерии оценивания

• Каждое задание — 2 балла: один за правильную модель и проверку d ≤ R, второй за расчёт, единицы и смысловую формулировку.
• При d ≥ R балл за вывод о характере пересечения важнее попытки механически извлечь корень.
• Максимум за вариант — 16 баллов: 14–16 — отлично; 11–13 — хорошо; 8–10 — повторить вычисления; меньше 8 — заново разобрать прямоугольный треугольник OHP.

Для проверки обратного решения подставьте найденный радиус в равенство r² + d² = R². Оно обязано выполняться с одинаковыми единицами длины.

Разбираем два способа поиска неизвестного

Прямой способ нужен, если известны R и d: сначала вычисляют разность квадратов, затем извлекают неотрицательный корень. Например, для R = 26 см и d = 10 см получаем r = √(676 − 100) = 24 см. При этом r не может превышать радиус шара — это быстрый контроль результата.

Обратный способ применяют, если измерили радиус r сечения и хотят узнать расстояние от центра до плоскости: d = √(R² − r²). Например, при R = 25 см и r = 15 см выходит d = √(625 − 225) = 20 см. Если экспериментально измеренное r больше R, задача с заданными числами не имеет решения. Две плоскости по разные стороны центра на одном расстоянии d дадут одинаковый радиус сечения.

Как организовать решение на бумаге

1. Обозначьте перпендикуляр из центра к плоскости и выпишите условие R ≥ d ≥ 0. Если требуемое условие не выполняется, сразу напишите геометрический вывод.
2. Сделайте осевой рисунок: центр O, основание перпендикуляра H, точка P на окружности. Отметьте прямой угол OHP.
3. Запишите OP² = OH² + HP² и замените отрезки R, d, r; вычисления выполняйте в одинаковых единицах.
4. Если просят площадь, после нахождения r вычислите πr²; если диаметр — 2r; если длину окружности — 2πr.
5. Проверьте равенство r² + d² = R², а также 0 ≤ r ≤ R. Для касательного случая прямо назовите точку касания.

Почему сечение является кругом? Все точки P сечения удовлетворяют OP ≤ R и лежат в одной плоскости. По прямоугольному треугольнику условие OP² = d² + HP² ≤ R² эквивалентно HP² ≤ R² − d². Значит, в плоскости получаем круг с центром H и радиусом r; его граница — окружность. Если говорят именно об окружности сечения, имеется в виду граница этого круга.

Проверочный пример на единицы: шар радиуса 0,5 м, плоскость в 30 см от центра. Сначала приведём к сантиметрам: R = 50 см, d = 30 см. Получится r = 40 см. Если забыть перевод и вычитать 0,5² − 30², выйдет бессмысленное отрицательное число.